166 lines
13 KiB
TeX
166 lines
13 KiB
TeX
|
\documentclass{article}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\input{settings/common-preamble}
|
|||
|
|
\input{settings/bmstu-preamble}
|
|||
|
|
\input{settings/fancy-listings-preamble}
|
|||
|
|
\author{Гребенюк Елена Алексеевна}
|
|||
|
|
\title{Анализ и прогнозирование временных рядов}
|
|||
|
|
\date{2023-02-08}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\begin{document}
|
|||
|
|
\sloppy
|
|||
|
|
\fontsize{14}{18}\selectfont
|
|||
|
|
\maketitle
|
|||
|
|
\tableofcontents
|
|||
|
|
\newpage
|
|||
|
|
\section{Введение}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\href{https://jino.cloud/s/GGZgntaAqMRQbK2}{Вентцель -- Теория вероятностей}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\href{https://jino.cloud/s/8qNSXycHpkmmmZb}{Гмурман -- Ьеория вероятностей и математическая статистика}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\subsection{Содержание курса}
|
|||
|
|
\begin{enumerate}
|
|||
|
|
\item Построение моделей временных рядов, линейные модели: ARMA, AR,MA, ECM. Прогноз.
|
|||
|
|
\item Ряды со стохастическим трендом и их модели: ARIMA, SARIMA.
|
|||
|
|
\item Модели с условной гетероскедастичностью: ARCH, GARCH (модели для прогнозирования волатильности доходности финансовых активов).
|
|||
|
|
\item Сингулярный спектральный анализ (SSA).
|
|||
|
|
\item Локальная аппроксимация (LA).
|
|||
|
|
\item Алгоритмы обнаружения изменений свойств временных рядов.
|
|||
|
|
\end{enumerate}
|
|||
|
|
\subsection{Модель случайности}
|
|||
|
|
Вероятностное пространство включает следующие элементы: $\{\Omega, F, P \}$, где $\Omega = \{ \omega_1, \omega_2, ... \}$ -- пространство элементарных событий, множество(конечное или счетное); $F$ -- $\sigma$ -алгебра событий -- структура на множестве событий $\Omega$; P -- вероятность -- мера, определенная на F.
|
|||
|
|
$\sigma$ -алгебра F - набор подмножеств (подмножеств событий), который
|
|||
|
|
\begin{enumerate}
|
|||
|
|
\item содержит достоверное событие: $\Omega \subset F$.
|
|||
|
|
\item вместе с любым событием $A \subset F$ содержит и противоположное к нему: если $A \subset F$, то $\overline{A} \subset F$.
|
|||
|
|
\item вместе с любыми событиями $A_1, A_2, ... A_n, ...$ система F содержит их объединение -- если $A_1, A_2, ... A_n \subset F, то \cup_{i=1}^{\infty} A_i \subset F$.
|
|||
|
|
\end{enumerate}
|
|||
|
|
(сигма-алгебра позволяет включить бесконечное число множеств.)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Мера -- это неотрицательная $\sigma$-аддитивная функция множеств, всегда положительная если пространство дискретно.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть: $\Omega$ -- некоторое множество, и F -- $\sigma$-алгебра его подмножеств. Функция $\mu: F \to R \cup + \infty$ называется мерой на $\{ \Omega, F \}$ если она удовлетворяет условиям:
|
|||
|
|
\begin{itemize}
|
|||
|
|
\item для любого множества $A \in F$ его мера неотрицательна: $\mu(A) \gg 0 $;
|
|||
|
|
\item для любого счётного набора попарно непересекающихся множеств
|
|||
|
|
$A_1, A_2, A_3, ... \in F$ (т.е. такого, что $A_i \cap A_j = \oslash$ при всех $i \neq j$) мера их объединения равна сумме их мер:
|
|||
|
|
\[ \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) \]
|
|||
|
|
\end{itemize}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
(другими словами) $\Omega$ - это множество всех возможных значений. $F$ -- это вероятность получения определённого сочетания. например, бросаем кубик и за два броска выпало $\{ 1, 2 \}$. какая вероятность?
|
|||
|
|
\[ \frac{6!}{2! * 4!} = 15, \]
|
|||
|
|
то есть 1/15. Или, например есть температура, которая может изменяться равномерно в интервале $10^\circ - 15^\circ$. тогда её вероятность $P < 7,5 = 1/2$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\subsection{Определение вероятности}
|
|||
|
|
Функция распределения представляет собой вероятность того, что случайная величина $\xi$ будет меньше ...\footnote{неразборчиво}. Неубывающая, всегда либо растёт, либо постоянна. непрерывна слева (значит справа необязательно определена).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вероятностью называется числовая функция P, определенная на $\sigma$-алгебре $F$ со значениями в $R, (P: F \to R)$ и удовлетворяющая следующей системе аксиом:
|
|||
|
|
\begin{enumerate}
|
|||
|
|
\item $0 \ll P(A) \ll 1, \forall A \in F$;
|
|||
|
|
\item Для любого счётного набора попарно несовместных событий $A_1, A_2, A_3, ... \in F$ выполняется равенство $(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$.
|
|||
|
|
\item $P\{\Omega\} = 1$
|
|||
|
|
\end{enumerate}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Случайная величина представляет собой измеримое отображение вероятностного пространства $\{ \Omega, F, P \}$ в измеримое пространство $\{ R, F(R), P_X \}$ на числовой прямой.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $\Omega = \{ \omega_1, \omega_2, ..., \omega_n, ...\}$. Если случайная величина может принимать не более чем счетное число значений, то она называется дискретной, если конечное число значений, то простой:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\[ \xi(\omega) = \sum_{i}X_iI_{A_i}(\omega), I_A(\omega) =
|
|||
|
|
\begin{cases}
|
|||
|
|
1, \omega \in A \\
|
|||
|
|
0, \omega \notin A
|
|||
|
|
\end{cases}
|
|||
|
|
\]
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Распределение дискретной случайной величины задается набором вероятностей $p_1, p_2, ..., p_n, ...$ таких, что $\sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\subsection{Непрерывная случайная величина, функция распределения случайной величины}
|
|||
|
|
Непрерывная случайная величина имеет плотность (справедливо только для абсолютно непрерывных).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Случайная величина может принимать не только дискретные значения, но и
|
|||
|
|
любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала: $(a, b), [\infty, b], ...$. Такая величина называется \textbf{непрерывной случайной величиной}.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Соответствие между значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она их принимает, называют \textbf{законом распределения случайной величины}. Для дискретной случайной величины этот закон задается простым перечислением вероятностей каждого ее значения.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\textbf{Функцией распределения случайной величины} $\xi$ называется функция $F_X(x)$, при каждом $x$ равная вероятности того, что случайная величина $X$ принимает значения, меньшие, чем $x$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\[ F_X(x) = P(X < x)\]
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\subsection{Абсолютно непрерывная функция распределения}
|
|||
|
|
Функция распределения $F_X(x)$ называется абсолютно непрерывной, если существует такая функция $p_X(x)$, что
|
|||
|
|
\[ F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b p_X(x) dx \]
|
|||
|
|
называется плотностью распределения случайной величины X.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теорема:
|
|||
|
|
\begin{enumerate}
|
|||
|
|
\item $p_{\xi}(x) \geq 0$ для любого $x$.
|
|||
|
|
\item $\int_{-\infty}^{\infty} p_\xi(x)dx = 1$
|
|||
|
|
\end{enumerate}
|
|||
|
|
Любая функция p_\xi(x), удовлетворяющая условиям теоремы может рассматриваться как плотность распределения некоторой случайной величины.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\subsection{Нормальное распределение}
|
|||
|
|
Непрерывная случайная величина $X$ имеет нормальное или гауссовское распределение с параметрами $a$ и $\sigma$, если плотность вероятности ее равна
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\[ p_X(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}, \]
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $a \in R, \sigma > 0$. Обозначение: 𝑁 𝑎, 𝜎 2 , где 𝑎 –
|
|||
|
|
математическое ожидание, 𝜎 − среднее квадратичное
|
|||
|
|
отклонение.
|
|||
|
|
Функция распределения:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\subsection{Нормальное распределение}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Нормальное распределение с параметрами а и сигма если её плотность вероятности равна
|
|||
|
|
|
|||
|
|
и математическое ожидание а и сигма - среднее квадратичное отклонение.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
(картинка ляма)
|
|||
|
|
оба графика это нормальное распределение. у синего среднее 0 у красного среднее 1. сигма это разброс относительно среднего. важно, что площадь одинаковая. распределение зарактеризуется двумя параметрами - среднее и дисперсия. у красной
|
|||
|
|
%P_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{(x+1)^2}{2\sigma^2}}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
(картинка ляма 2) получается у второго будет меньше вариативности около -1
|
|||
|
|
|
|||
|
|
в нормальном распределении
|
|||
|
|
%Ф_0(0) = 0,5
|
|||
|
|
%Ф_0(-ч) = 1-Ф_0(ч)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
правило трёх сигм
|
|||
|
|
если отклонение случайной величины меньше трёх сигм (стандартных отклонений) мы считаем что вероятность пренебрежимо мала.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Характеристики
|
|||
|
|
%мат ожиданием случайной величины Х с плотностью р_х(х) называется неслучайная велична м_х=\интхр_х(х)дх, если этот интеграл сходится, то есть \интмодуль хи р_х(х)дх меньше инфти
|
|||
|
|
|
|||
|
|
случайность - это отсутствие полной информации об эксперименте. если кубик бросить сто раз в среднем выпадет 3,5. мат ожидание броска 3,5.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
свойства матожидания
|
|||
|
|
|
|||
|
|
дисперсия случайной величины равна нулю.
|
|||
|
|
%\overline{DX}=\frac{\sum_{i-1}^{n}(x_i-\overline{X})^2}{n-1}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Во временных рядах каждое следующее значение в момент Т зависит от предыдущего в момент Т-1. Например, изменение температуры или цен. Если эта зависимость существует, то существует связь, мера этой связи называется ковариацией. ковариация величины с самой собой это дисперсия.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Задачи
|
|||
|
|
ксит +
|
|||
|
|
кси1,2...т,т-1 белый шум
|
|||
|
|
|
|||
|
|
белый шум когда МО = 0 а дисперсия =сигма квадрат != 0, а ковариация = 0.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
модель скользящего среднего
|
|||
|
|
%X_t = \sum_{i=0}\alpha_i \sum_{t-i} где альфа - сходимый ряд (бесконечная сумма меньше бесконечности)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
%X_t = 2_\infty \ksi_{t-1} - 3\ksi_{t-2} + \ksi_t + 1
|
|||
|
|
|
|||
|
|
мат ожидание = 1
|
|||
|
|
если величины независимы - матожидание = 0
|
|||
|
|
дисперсия суммы (если величины независимы)
|
|||
|
|
%Var(X_t) = Var(2\ksi_{t-1}) - Var(3\ksi_{t-2}) + Var(\ksi_t + 1) = 4Var(\ksi_{t-1}) + 9Var(\ksi_{t+2}) + Var \ksi_t = 14
|
|||
|
|
|
|||
|
|
%Cov(X_t X_{t-1}
|
|||
|
|
%x_t = 2\ksi_{t-1} - 3\ksi_{t-2} + \ksi_{t+1}) =
|
|||
|
|
|
|||
|
|
%Var(x\pm y) = Var(x) + Var(y) \pm 2cov(x, y), если х и у не кореллируют.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\end{document}
|