From 68f426bd515998e95285ebea3317051159038a83 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "Ivan I. Ovchinnikov" <mail@iovchinnikov.ru>
Date: Mon, 27 Mar 2023 21:08:08 +0300
Subject: [PATCH] tsaf hw

---
 04-tsaf-01-hw.tex | 41 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 36 insertions(+), 5 deletions(-)

diff --git a/04-tsaf-01-hw.tex b/04-tsaf-01-hw.tex
index b6a4586..989a715 100644
--- a/04-tsaf-01-hw.tex
+++ b/04-tsaf-01-hw.tex
@@ -38,10 +38,10 @@
   \begin{gathered}
 1-2.5z+z^2=0\\
 z = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
-z_1 = \frac{-2.5-\sqrt{-2.5^2-4}}{2}\\
-z_1 = 1.25 + \sqrt{1.5625-1} \approx 2\\
-z_2 = \frac{-2.5+\sqrt{-2.5^2-4}}{2}\\
-z_2 = 1.25 - \sqrt{1.5625-1} \approx 0.5
+z_1 = \frac{-2.5-\sqrt{2.5^2-4}}{2}\\
+z_1 = 1.25 + \sqrt{6.25-4} = 1.25 + 1.5 \approx 2.75\\
+z_2 = \frac{-2.5+\sqrt{2.5^2-4}}{2}\\
+z_2 = 1.25 - \sqrt{6.25-4} = 1.25 - 1.5  \approx -0.25
   \end{gathered}
 \end{equation*}
 Только один корень уравнения по модулю больше, поэтому процесс \textbf{не является обратимым}.
@@ -72,6 +72,37 @@ z_2 = 1.25 - \sqrt{1.5625-1} \approx 0.5
 \end{equation*}
 
 \subsection{Процесс ARMA(1, 1)}
+Для того чтобы процесс ARMA(1,1) был стационарным, необходимо выполнение следующих условий:
+\begin{itemize}
+\item Корни характеристического уравнения $1 - \alpha z = 0$ должны лежать вне единичного круга на комплексной плоскости. Характеристическое уравнение имеет вид $z = \frac{1}{\alpha}$, поэтому условие стационарности может быть записано как $|\frac{1}{\alpha}| > 1$, что эквивалентно $|\alpha| < 1$.
+\item Веса авторегрессии и скользящего среднего должны быть ограничены, то есть $|\alpha| < 1$ и $|1 - \beta| < 1$, где $\beta$ - коэффициент скользящего среднего.
+  Таким образом, из условия 1 получаем, что $|\alpha| < 1$. Из условия 2 следует, что $|1 - \alpha| < 1$, что эквивалентно $0 < \alpha < 2$. 
+\end{itemize}
+Таким образом, все значения $\alpha$ из интервала $(0, 1)$ удовлетворяют условиям стационарности процесса ARMA(1,1).
 
-
+Процесс ARMA(1, 1) может быть записан как
+$$
+y_t = \alpha y_{t-1} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1}
+$$
+Для того чтобы процесс был обратимым, необходимо чтобы любое значение $y_t$ можно было выразить через прошлые значения ошибок $\xi_t, \xi_{t-1}, \xi_{t-2}, \dots$.
+Рассмотрим процесс $y_{t-1}$:
+$$
+y_{t-1} = \alpha y_{t-2} + \xi_{t-1} - 0.5 \xi_{t-2}
+$$
+Теперь можем выразить $y_t$ через прошлые значения ошибок:
+$$
+\begin{aligned}
+y_t &= \alpha y_{t-1} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1} \\
+&= \alpha (\alpha y_{t-2} + \xi_{t-1} - 0.5 \xi_{t-2}) + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1} \\
+&= \alpha^2 y_{t-2} + \alpha \xi_{t-1} - 0.5 \alpha \xi_{t-2} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1}
+\end{aligned}
+$$
+Продолжая этот процесс, получаем:
+$$
+\begin{aligned}
+y_t &= \alpha^t y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} \alpha^i \xi_{t-i-1} - 0.5 \sum_{i=1}^{t-1} \alpha^{i-1} \xi_{t-1-i} \\
+&= \alpha^t y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} \alpha^i \xi_{t-i-1} - 0.5 \sum_{i=0}^{t-2} \alpha^i \xi_{t-i-2}
+\end{aligned}
+$$
+Теперь мы можем выразить любое значение $y_t$ через прошлые значения ошибок, поэтому процесс будет обратимым для любого $\alpha$.
 \end{document}