another week

04-big-data-analysis-information-systems-developing-technologies.tex

@@ -193,6 +193,28 @@ $\ddot{y_j}$ -- среднее значение $y_t$ для объектов с
 \item Задача классификации: Подсчет процента успешной классификации для каждого из значений признака $p$. По теореме Байеса считаем $P(X_j|Y)$ -- вероятность признака $X_j$, если объект принадлежит положительному классу. Если $P(X_j|Y = 1) > 0,7 \cup P(X_j|Y = 1) < 0,3$, то считаем $X_j$ информативным признаком.
 \end{itemize}
 
+\subsection{Отбор признаков по Теореме Байеса}
+Теорема Байеса. Пусть $В_1, В_2, ..., В_r$, полная группа событий $А$ -- некоторое событие, вероятность которого связана с $В_i$, тогда
+\[ P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)p(B_i)}{P(A)}\],
+где $P(A) = \sum_{i=1}^rP(A|B_i)p(B_i)$.По теореме Байеса считаем $P(X_j,Y)$ -- вероятность признака $Х_у$, если объект принадлежит положительному классу. Если Р(X,IY = 1) > P
+
+ 0,7 UP(XIY = 1)<0,3, то считаем X, информативным признаком.
+
+ Пример. Оценим информативность признаков x, и х, по Теореме Байеса:
+
+ P(xy = 1)Y = 1) =1/2
+
+ P(xr = b/Y = 1) =3/16
+
+\subsection{Наивный байесовский классификатор}
+\[ L = \{X_t, Y_t\}_t=1^N \] обучающая выборка, $X_j=\left( \begin{array}{c} x_{1j}\\ ...\\ x_{Nj}\end{array} \right)$ -- j-ый признак, $X_k$ -- новый объект.
+
+Предположение. При заданном значении класса $Y_t$ признаки $\dot{X_j}, ..., \dot{X_j}$ независимые.
+
+$P(Y = 1|0,b) = \frac{P(0,b|Y)P(Y)}{P(0,b)}$
+
+$y = argmax(P(a,b|Y) * P(Y))$
+
 \subsection{ROC-кривая}
 Число строк в квадрате справа равно числу единиц, число столбцов -- числу нулей. Стартуем из точки (0, 0)(левый нижний угол. Если значение метки класса в просматриваемой строке 1, то делаем шаг вверх; если 0, то делаем шаг вправо, если у нескольких объектов значения оценок равны, то делаем шаг в точку \textbf{а} блоков выше и \textbf{b} блоков правее, где \textbf{а} -- число единиц, \textbf{b} -- число нулей в рассматриваемой группе объектов.
 
@@ -225,4 +247,73 @@ $\ddot{y_j}$ -- среднее значение $y_t$ для объектов с
 
  2/3 - \% точек класса 1, верно классифицированых алгоритмом (TPR = True Positive Rate).
 
+Качество ROC-кривой напрямую зависит от объёма выборки и количества признаков. С её помощью можно оченить информативность признаков (отобрать признаки).
+
+\subsection{Precision-recall кривая}
+
+\subsection{Тестирование модели}
+
+\subsection{Оценка}
+Оценивание методов обычно проводится, относительно следцющих характеристик: скорость, робастность, интерпретируемость, надёжность.
+\begin{itemize}
+\item скорость -- время которое требуется на создание модели и её использование
+\item Робастность -- устойчивость к отклонениям от исходных предпосылок метода, например, возможность работы с зашумленными данными, пропущенными значениями в данных, нарушениями предположений о распределении и пр.
+\item Интерпретируемость -- обеспечивает возможность понимания модели аналитиком предметной области. Пусть для решения применили методы: деревья решений; байесовская
+\end{itemize}
+классификация, метод ближайшего соседа; - логистическая регрессия;
+
+метод опорных векторов. Можно ли сравнить их по вышеперечисленным
+
+\section{Решаемые задачи}
+\[ [a(x_i)\neq y_i] =
+  \begin{cases}
+    1, if a(x_i) \neq y_i\\
+    0, if a(x_i) = y_i
+  \end{cases}
+\]
+
+$a(x_i)$ -- алгоритм обучения. Если применить алгоритм -- получим результат классификации $x_i$, сравниваемый с $y_i$.
+
+\begin{multicols}{2}
+Классификация
+  \columnbreak
+Прогнозирование
+\end{multicols}
+
+\subsection{Обозначения}
+Пусть $X_t\subset X$ -- объект множества $X$ с набором характеристик $(X_1, Xız, ..., Xtn)$, $Y$ -- множество классов, к которым принадлежат объекты множества $Х$.
+
+% {X, Y} 1 - обучающая выборка, для которой на подмножестве объектов Xt CX известны ответы Yt.
+
+%Требуется построить алгоритм а: X → Y, который определяет ответы Yе для любого объекта Xt, не принадлежащего обучающей выборке £ = {Xt, Y}-1. Jt=1'
+
+\subsection{Задача классификации}
+
+\subsection{Метрики. Оценка качества работы алгоритма}
+Обучение линейного елассификатора заключается в поиске вектора весов $w$, на котором достигается минимум заданного функционала качества.
+
+...
+
+\subsection{Задача классификации. Метод логистической регрессии.}
+Рассматриваем бинарную классификацию $Y = \{1, -1\}$, хотим построить модель, которая выдает не номер класса, а вероятность принадлежности объекта к классу. Бинарная логистическая регрессия предсказывает вероятность того, что модель принадлежит к положительному классу.
+
+Будем говорить, что модель корректно предсказывает вероятности, если среди множества объектов, для которых модель предсказала вероятность $p$, доля положительных равна $p$.
+
+Критерий $\sum_{i=1}^N \log(1+\exp(-Y_i\langle X_i, w\rangle) \to \underset{w}{min})$\footnote{Треугольные скобки означают скалярное произведение, абсолютную величину отступа}.
+
+\subsection{Выбор критерия}
+сигма - это уверенность алгоритма в ответе.
+
+\section{Регрессия}
+\subsection{Постановка задачи}
+
+%Пусть значение целевой переменной $Y \in R$ для входного вектора 𝑿𝑿 = 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 , . . определяется значением детерминированной функции 𝑔𝑔(𝑿𝑿, 𝝎𝝎) с аддитивным гауссовым шумом:
+%Тогда
+%𝑌𝑌 = 𝑔𝑔 𝑿𝑿, 𝑤𝑤 + 𝜉𝜉, 𝜉𝜉 ∼ 𝑁𝑁(0, 𝜎𝜎 2 ) 𝑃𝑃 𝑌𝑌|𝑿𝑿, 𝑤𝑤, 𝜎𝜎 2 ∼ 𝑁𝑁(𝑔𝑔 𝑿𝑿, 𝑤𝑤 , 𝜎𝜎 2 ).
+% Требуется построить функцию 𝑔𝑔: (𝑿𝑿, 𝜔𝜔) ⟹ 𝑹𝑹 . Вид функции 𝑔𝑔 мы задаем, веса 𝜔𝜔 определяются в процессе обучения.
+
+\subsection{Модель прогнозирования}
+если линейно-зависимые столбцы мы не можем регрессировать.
+разность между модельным У и реальным У называется разностью. можно построить график разностей. если они примерно однородны - это линейные остатки. если остатки не переходят в другие области такого графика -- это называется гомоскедастичность.
+
 \end{document}

04-complex-electronic-devices-developing.tex

@@ -13,6 +13,8 @@
 \maketitle
 \tableofcontents
 \newpage
+Характеристики цепей
+Преобразования сигнала
 \section{Введение}
 Электроника базируется на физике. Разделы физики -- электричество в металлах, в полупроводниках и электромагнитные поля\footnote{\href{https://ru.wikipedia.org/wiki/Правила_Киргофа}{Киргоф}, \href{https://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_Ома}{Ом}}. Упрощают моделирование сложных систем, предоставляют математический аппарат.
 
@@ -89,8 +91,72 @@ $x(t)$ -- это входной непрерывный сигнал, умнож
   \caption{Дискретизация сигнала}
 \end{figure}
 
-
 Дискретный сигнал в частотной области -- бесконечное число повторяющихся копий дискретного представления сигнала. в ЦВУ мы всегда работаем с дискретным сигналом. Важно на каком расстоянии стоят частоты дискретного сигнала (виртуальные образы цифрового сигнана). Чтобы они не накладывались друг на друга нужна предварительная фильтрация (ФПО). 
 
+Дискретизация -- это умножение входного сигнала на импульсы дискретизации.
+(1)
+
+УВХ -- является мостом от аналогового к цифровому сигналу. Ключ управляется сигналами управления. Sampling-Hold Amplifier.
+(2)
+Конденсатор нужен для того чтобы сохранить значение пока АЦП квантует. Если напряжение с конденсатора уйдёт до АЦП -- погрешность.
+
+Ключ замыкается - конденсатор запоминает - ключ размыкается - АЦП квантует. Время сбора информации влиет на наличие эффекта фильтрации. Чтобы конденсатор быстрее зарядился нужно уменьшать ёмкость (но она быстрее будет разряжаться). Идеального решения не существует. Ключ - это два транзистора в противофазе. Аналоговый мультиплексор - это набор из ключей.
+
+В реальности используется не УВХ а Устройство \textbf{Слежения} и Хранения Track-Hold Amplifier ключ всегда закрыт и снимается значение в момент размыкания ключа.
+
+(3) дифференциальное УВХ
+
+В идеальном ключе мы хотим чтобы включенный был с нулевым сопротивлением, а выключенный с бесконечным (обычно I-утечки).
+
+АЦП различают с функцией дискретизации (Sampling ADC) и без (non-sampling ADC). Динамические характеристики АЦП выбираются по характеристикам УВХ.
+
+(4)
+при меньшей ширине сигнала (педельный случай) спектр = 1*косинус сигнала, а значит он бесконечный.
+
+(5)
+предел -- импульсная характеристика идеального ФНЧ, а в реальности это простая фильтрация. то есть сам АЦП выступает в роли фильтра.
+
+\subsection{Субдискретизация}
+
+Идеальный дискретизатор дельта функция Дирака.
+(6)
+ширина зоны 0.5фс
+\[ |\pm Kf_s \pm f_a|; k=1,2,3,4 \]
+
+1 зона - основная полоса. частотный спектр делится на бесконечное количество зон.
+
+\[f_S = 4f_a\]
+На временной диаграмме видно, что сигнал восстанавливается.
+
+\[f_S = 2f_a\]
+
+\[f_S = 1.5f_a\]
+
+следствие эффекта наложения дискретного сигнала -- появление Внеполосной помехи. Очевидно нужен ФНЦ с полосой пропускания 0...фс/2. Идельаный фильтр не получится, поэтому нужен фильтр какого-то порядка.
+
+Требования к фильтру.
+(8) для первой зоны
+ДД - динамический диапазон преобразования ограничивает эффект наложения. Фильтр ограничен разрядностью. добиваться точности больше, чем число разрядов (1/256 для 8-разрядного) нет смысла.
+
+\begin{itemize}
+\item полоса пропускания должна быть 0...фа
+\item переходная полоса фа...фс-фа
+\item полоса задержания $фс-фа...\infty$
+\item ослабление =дд
+\end{itemize}
+порядок фильтра M = DD/6lg_2(fs-fa/fs).
+
+1 порядок даёт 6дб на октаву или 10 на декаду
+
+какого порядка можно реализовать аналоговый фильтр? порядок определяется энерго запоминающими элементами. больше 12 уже не делают, потому что вынуждены каскадировать, разбросы и погрешности.
+
+можно уменьшить требование по частоте фильтра, увеличив частоту дискретизации (передискретизация). и возможно применить операцию децимации (но все образы обратно сдвинутся и наложатся) поэтому перед децимацией нужно отфильтровать цифровым фильтром.
+
+(9)
+жертва - более дорогой избыточной АЦП, наличие ЦФ. но при этом можем снизить аналоговый фильтр до первого порядка хотя бы RC-цепочку.
+
+как понять в ЦФ порядок - подать единичный импульс.
+
+После ЦАП также нельзя делать большой порядок. поэтому делаем интерполяцию. 
 
 \end{document}

04-telecommunication-systems-software.tex

@@ -24,4 +24,8 @@ Erlang -- специально разработан для телекоммун
 
 Процессы могут следить за ошибками в других процессах. Когда процесс завершается, он автоматически сигнализирует об этом всем связанным с ним процессам
 
+Функциональный ЯП, отсутствие side-effects. Программа сравнима с формулой или электрической схемой, вычисляется сразу целиком, нет промежуточных действий. Использует виртуальную машину и используется всегда в паре с OTP -- open telecom platform.
+
+В Erlang не очень много типов данных: целые, действительные, атомы (именованные символические константы), заполнители \code{_}, \code{@}.
+
 \end{document}

04-telematics.tex

@@ -132,4 +132,80 @@ DevOps-инженер -- высококвалифицированный спец
 
 Используемые инструменты -- Jenkins, Docker, Kubernetes, Git, Приложения для управления инфраструктурой (Terraform), платформенные и облачные сервисы, утилиты мониторинга и оповещений.
 
+\section{Система контейнеризации Docker}
+Виртуализация и контейнеризация
+
+Микросервисная архитектура -- это такой подход, при котором единое приложение строится как набор небольших сервисов, каждый из которых работает в собственном процессе и коммуницирует с остальными, используя легковесные механизмы. Такой подход получил распространение в середине 2010х годов в связи с развитием гибких практик разработки.
+
+До появления микросервисов и контейнеров повсеместно использовались монолитные приложения на основе систем виртуализации.
+
+Особенности монолитных приложений
+\begin{itemize}
+\item много зависимостей
+\item долгая разработка
+\item повсеместное использование виртуализации
+\end{itemize}
+
+Виртуализацция -- это технология с помощью которой на одном физическом устройстве можно создать несколько виртуальных компьютеров. На компьютере с одной ОС можно запустить несколько других ОС или приложений. ОС запускаются в виртуальной среде, но используется инфраструктура хоста и позволяет им работать на одном устройстве изолированно друг от друга.
+
+Виртуальная среда создаётся при помощи программной или аппаратной схемы - гипервизора -- инструмента, обеспечивающего параллельное управление несколькими ОС на одном хосте.
+
+Виртуализация. Типы гипервизоров
+Гипервизоры:
+\begin{itemize}
+\item аппаратные -- VMWare ESX, Citrix Hyper-V
+\item устанавливаемые поверх базовой ОС -- MS Virtual PC
+\item гибридные -- 
+\end{itemize}
+
+Новый подход к виртуализации
+
+Назрела необходимость в ином подходе к построению архитектуры приложений, при котором ядро ОС поддерживают несколько изолированных экземпляров пользовательского пространства вместо одного (namespaces). Возникновение контейнеризации -- контейнерной виртуализации. К использует ядро хост системы, оставаясь при этом не менее функциональной и обеспечивающей необходимую изоляцию.
+
+КВ -- это способ, при котором вирт среда запускается прямо из ядра хотовой ОС (то есть без установки другой ОС). В данном случае изоляцию ОС и приложений поддерживает контейнер. Контейнер создержит всё, что нужно для запускаемого в нём приложения: код, библиотеки, инструменты и настройки. Всё это упаковано в отдельный образ, работу которого запускает контейнерный движок.
+
+В случае с контейнерами у нас есть...
+
+Проблемы контейнеризации
+Для контейнеров используется виртуализация на уровне ядра, то есть от гипервизора можно отказаться. однако:
+\begin{itemize}
+\item контейнео использует ядро хост системы, проблемы с безопасностью
+\item в контейнере может быть запущен экземпляр ОС только с тем же ядром, что и у хост ОС.
+\end{itemize}
+
+Возможно получить доступ к возможностям Windows и Linux одновременно при помощи WSL.
+
+Как решить проблемы проблемы контейнеризации
+\begin{itemize}
+\item следование принципу единственной ответственности (Single responsibility principle)
+\item Всё необходимое должно быть в самом контейнере
+\item Образы должны быть небольшого размера
+\item контейнер должен быть эфемерным
+\end{itemize}
+
+Контейнеризаторы приложений
+
+Докер -- платформа автоматизации и доставки приложений.
+\begin{itemize}
+\item сервер dockerd
+\item API
+\item CLI
+\end{itemize}
+
+Компоненты докер
+\begin{itemize}
+\item хост -- хост ПК
+\item демон -- фоновый процесс, работающий на хосте постоянно и ожидающий команды управления. Имеет информацию обо всех контейнерах на хосте.
+\item клиент -- клиент при помощи с котрого пользователь взаимодействует с демоном
+\item образ -- неизменяемый образ приложения (можно представить как установочный диск)
+\item контейнер -- развёрнутое на основе образа и запущенное приложение.
+\item докерфайл -- файл-инструкция для сборки докер-образа. Строки файла это слои образа. Инструкции обрабатываются последовательно.
+\item docker registry -- репозиторий, в котором хранятся образы (докерхаб)
+\end{itemize}
+
+Образ -- шаблон с набором инструкций, предназначенных для создания контейнера. Приложения упаковываются в образ
+
+Контейнер -- уже собранное, настроенное и запущенное на основе образа приложение в изолированное среде.
+
+
 \end{document}

04-time-series-analysis-forecasting.tex

@@ -164,7 +164,7 @@ $\sigma$ -алгебра F - набор подмножеств (подмноже
   \[E\{g+X\} = g+EX\]
 \end{enumerate}
 
-\subsection{Дисперсия СВ}
+\subsection{Дисперсия случайной величины}
 Дисперсией СВ $X$ называется неслучайная величина
 \[ D_X = \int (x-m_x)^2 px(x) dx\]
 Свойства ДСВ
@@ -201,4 +201,104 @@ $\sigma$ -алгебра F - набор подмножеств (подмноже
 \[Var(x\pm y) = Var(x) + Var(y) \pm 2Cov(x, y),\]
 если $x$ и $y$ не кореллируют.
 
+\section{Анализ и прогнозирование временных рядов}
+рассмотрение динамических объектов.
+\begin{enumerate}
+\item могут быть описаны дономерными или многомерными временными рядами
+\item образующие временной ряд последовательности случайных величин не являются независимыми
+\item закон распределения может изменяться от числа наблюдаемых временных отсчётов.
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Цели АВР}
+\begin{itemize}
+\item выявление закономерностей изучаемых процессов
+\item построение....
+\end{itemize}
+
+\subsection{Стационарность рядов}
+Ряд называется стационарным в широком смысле (или слабостационарным), если его дисперсия и матожидание существуют и не зависят от времени, а автокорреляционная функция зависит только от величины сдвига.
+\begin{equation*}
+  \begin{gathered}
+    E(Y_t) = \mu;\\
+    Var(Y_t) = \sigma^2\\
+    M_K = \int_a^b(x - mx)^a p(x) dx\\
+    \gamma(k) = \rho(Y)t, Y_{t-k} = \frac{cov(Y_t, Y_{t-k})}{\sqrt{Var(Y_t) * Var(Y_{t-k})}}
+  \end{gathered}
+\end{equation*}
+
+Свойства стационарного (в ШС) ВР
+\begin{itemize}
+\item $EY_t = \mu$
+\item $Cov(Y_t, Y_{t+\tau}) = E[(Y_T - EY_t)(Y_{t+\tau}-EY_{t+\tau})] = \gamma(\tau)$
+\end{itemize}
+
+Чтобы определнить степень зависимости, лучше использовать нормальные величины.
+
+\subsection{Свойство Гауссова процесса}
+Функции распределения Гауссова процесса любого ..
+
+\subsection{Оператор сдвига}
+Оператором сдвига называется такое преобразование временного ряда, которое смещает ряд на один временной интервал
+\begin{equation*}
+  \begin{gathered}
+    LY_t = Y_{t-1}\\
+    L^kY_t = Y_{t-k}
+  \end{gathered}
+\end{equation*}
+например
+\begin{equation*}
+  \begin{gathered}
+    (1-0.5L)(1+0.6L^4)Y_t = c+\xi_t\\
+    (1+0.6L^4 - 0,5L - 0.3L^5)Y_t = c+\xi_t\\
+    Y_t - 0.5Y_{t-1}+0.6Y_{t-4}-0.3Y_{t-5} = c+\xi_t
+  \end{gathered}
+\end{equation*}
+\subsection{Теорема Вольда}
+Любой стационарный вШС случайный процесс без детерминированной составляющей может быть представлен в виде
+\[ Y_t - \mu = \sum_{j=0}^\infty \beta_j \xi_{t-j} \]
+
+Если в разложении Вольда случайного процесса присутствует только конечное число членов, то такой процесс называется моделью скользящего среднего (MA, moving average).
+
+Различные формы представления МА
+\begin{itemize}
+\item исходный ряд
+\item центрирование
+\item центрированный процесс
+\item с использованием оператора сдвига
+\end{itemize}
+
+Обратимый процесс - это процесс, при котором существует такой оператор, при котором сумма операндов равна единице. Для бесконечных процессов условие обратимости находить очень сложно.
+
+Можем для процесса построить характеристическое уравнение (взять коэффициенты и приравнять нулю). Если корни характеристического уравнения по модулю больше 1, то процесс обратим.
+
+\subsection{Процесс авторегрессии}
+Для того, чтобы процесс авторегрессии был стационарным необходимо, чтобы корни характеристического уравнения были по модулю больше единицы
+
+Пример. Процесс МА
+\begin{equation*}
+  \begin{gathered}
+    y_t = \xi_t + \beta_1\xi_{t-1}\\
+    Var(y_t) = Cov(y_t, y_t) = \gamma(0) = \sigma^2(1+\beta_1^2)\\
+    Var(y_t) = Var(\xi_t+\beta_1\xi_{t-1}))\\
+    Cov(y_t, y_{t+k}) = 0; k>1\\
+    Cov(y_t, y_{t+1}) = \gamma(1) = \sigma_\xi^2\beta_1\\
+    Cov(y_t, y_{t+1}) = Cov(\xi_t + \beta_1\xi_{t-1}, \xi_{t+k} + \beta_1\xi_{t+k-1})
+  \end{gathered}
+\end{equation*}
+
+Корреляция между $y_t$ и $y_{t+\tau}$вычисляется по формуле
+\[ \rho_\tau = \rho(\tau) = \frac{\gamma(\tau)}{\gamma(0)} \]
+
+\subsection{Модель авторегрессии}
+\[ y_t = \alpha_1y_{t-1}+\alpha_2y_{t-2}+...+\alpha_Py_{t-p}+\xi_t AR{K}\]
+
+\[ y_t = \xi_t +\beta_1\xi_{t-1}+ ...+\beta_q\xi_{t-q}; MA(q)\]
+
+\[ y_t = \alpha_1y_{t-1}+...+\alpha_ky_{t-k} = \beta_1\xi_{t-1}; ARMA(p,q)\]
+
+$ARIMA(p, d, q);$ Если ряд -- стационарный, то строим модель по $d=0$ если нет то строим модель по разности.
+
+Основной инструмент для выбора границ порядков -- автокорреляционная и частная автокорреляционная функция временного ряда. Tckb d fdnjhtuhtccbb ldf pyfxbvs[ xktyf nj d vjltkb crjkmpzotuj chtlytuj yt vj;tn m,snm ,jkmit lde[ xktyjd/
+
+
 \end{document}

04-videostream-object-parameter-recognition-algorithms.tex

@@ -89,5 +89,71 @@
 
 Зная характеристики камеры мы можем по размытому изображению определить расстояние.
 
+\section{Определение параметров объекта}
+Удалённость от камеры, размеры объекта, кинематические характеристики (скорость, направление движения).
+
+Метод пропорций -- должны быть априорные данные об объекте, для которого мы хотим определять характеристики. Если нет данных об объекте -- должны быть размеры объектов в сцене (дорожные знаки, разметка, и так далее), на основе данных о сцене и изображения объекта на сцене можем вычислить нужные параметры.
+Исходные данные:
+\begin{itemize}
+\item $H_{\text{объекта}}$ -- например, высота объекта в пикселях $h$ -- априорная высота;
+\item $\alpha_{\text{кадр}}, \beta_{\text{кадр}}$ -- характеристики камеры -- углы обзора по вертикали и горизонтали, соответственно.
+\item $H_{\text{кадр}}$, $W_{\text{кадр}}$ -- высота и ширина кадра
+\end{itemize}
+найти $l$ -- расстояние до объекта, $v$ -- скорость.
+(1)
+для вычисления скорости нужно взять два кадра с известным временем между ними.
+(2)
+$v_x$ тоже касательный считается по аналогии
+\[ v_x = \frac{\beta_k * \Delta_o * l}{W_k * N \tau} \]
+(3)
+
+Недостаток в том, что нам нужны априорные знания об объектах.
+
+Метод pinhole
+(4)
+мы знаем, что все лучи проходят через одну точку, тогда стоит задача по координатам $(X,Y,Z)$ получить двумерные координаты $(u, v)$.
+(5)
+
+(6) - матрица поворота
+
+вектор $T$ отвечает за центр масс объекта.
+Координаты $(X, Y, Z)$ приводятся к двумерным $x', y'$, масштабируются $f(x)$ и делаем сдвиг $c(x)$.
+
+\[x' = x/Z; y' = y/Z\]
+
+\[u = f_x*x' + c_x; v = f_y*y'+c_y\]
+(7)
+
+$P$ -- проекционная матрица.
+
+В данной задаче возникает проблема искажений (аберрации, дисторсия).
+\[x'' = x'(1+k_1*r^2 + k_2*r^4 + k_3*r^6) + 2p_1x'y' + p_2(r^2+2x'^2)\]
+
+\[r^2 = x'^2 + y'^2\]
+аналошгично y'
+
+\[y'' = y'(1+k_1*r^2 + k_2*r^4 + k_3*r^6) + p_1(r^2+2y'^2) + 2p_2x'y'\]
+
+По изображению можем получить все коэффициенты и посчитать координаты $u, v$. Коэффициенты находятся путём калибровки камеры. И используются для обратного вычисления координат.
+(8) цель минимизировать ошибку, видеале = 0
+
+(uia via) = P(xi,yi,zi)
+
+Зная, что матрица P - это проекционная матрица мы можем варьировать матрицы поворота и сдвига(R, T), которые входят в её состав. Perspective Points Problem - проблема того что реальная точка может восстановиться в две и нужно понять у какой коэффициент ошибки меньше.
+
+Определение на изображении планарных (плоских) объектов -- гомография.
+
+(9)
+Как понять, что объект плоский. Все точки объекта связаны определёнными геометрическими преобразованиями и возможно построить между ними зависимостями.
+
+объект = u,v
+изображение = \tilde{u}, \tilde{v}
+
+\tu = h_11u+h_12v+h13/h31u+h32v+h_33
+\tv = h_21u+h_22v+h13/h31u+h32v+h_33
+H = h11 h12 h13\\h21 h22 h23\\h31 h32 h33 - матрица гомографии
+(tu tv 1) = H(u v 1)
+
+задача - поиск точек, подверженных гомографии. Такой поиск называется схема RANSAC.
 \end{document}