another week

04-time-series-analysis-forecasting.tex

@@ -542,6 +542,51 @@ TS-Процесс.
 
 Для того чтобы проверить распределение Дики-Фуллера нужно построить константы и тренд и понять значимый ли тренд
 
+\section{Прогнозирование временных рядов}
+\subsection{Прогнозирование временных рядов по параметрическим моделям}
+Лучшее, что мы можем сделать -- это среднеквадратичное. Наилучший прогноз -- это матожидание
+\begin{equation*}
+  \begin{gathered}
+\tilde{y_{t+k|t}} = E{\tilde{y_{t+k|k}}|y_1...y_t}\\
+\tilde{y_{t+k|t}} = E{\tilde{y_{t+k|k}}|y^t_1}
+  \end{gathered}
+\end{equation*}
+
+\[ y_{t} \to \tilde{\xi_t} = y_t-\tilde{y_{t|t-1}}\]
+Можем оценить $\xi_t$ -- это будет модель вычисленная по величинам, но мы не можем вычислить $\xi_{t-1}$.
+\[\tilde{y_{t|t-1}} = f(y_{t-1}...y_1)\]
+
+\begin{equation*}
+  \begin{gathered}
+y_t = \xi_t-\alpha\xi_{t-1}, \xi_t \sim N(0, \sigma^2)\\
+y_{t+1} = \xi_{t+1}-\alpha\xi_{t}\\
+\tilde{y_{t+1|t}} = -\alpha\tilde{\xi_t}\\
+e_{t+1}(1) = y_{t+1} - \tilde{y_{t+1|t}} = \xi_{t-1}-\underbrace{\alpha\xi_t-(-\alpha\tilde{\xi_t})}_{0}\\
+Var(e_{t+1}(1)) = Var(\xi_{t+1}) = \sigma^2\\
+Var(\xi_t) = E(\xi_t^2-E\xi_t)
+  \end{gathered}
+\end{equation*}
+
+Дисперсия ошибки прогноза равна безусловной дисперсии процесса.
+
+Прогнозирование авторегрессионных процессов
+\begin{equation*}
+  \begin{gathered}
+    y_t = 0,4y_{t-1}+0,2y_{t-2}+\xi_t\\
+    y_{t+1}=0,4y_{t}+0,2y_{t-1}+\xi_{t+1}\\
+    \tilde{y_{t+1|t}} = 0,4y_{t}+0,2y_{t-1}\\
+    Var(e_t(1)) = \sigma^2\\
+    y_{t+2}=0,4y_{t+1}+0,2y_{t}+\xi_{t+2}=\\
+    = 0,4(0,4y_{t}+0,2y_{t-1}+\xi_{t+1})+0,2y_t+\xi_{t+2}=\\
+    = 0,16y_t + 0,08y_{t-1}+0,2y_t+0,4\xi_{t+1}+\xi_{t+2}\\
+    \tilde{y_{t+2|t}} = 0,36y_t + 0,08y_t\\
+    e_t(2) = 0,4\xi_t+1+\xi_{t+2}\\
+    Var(e_t(2)) = 0,16+1
+  \end{gathered}
+\end{equation*}
+В основном рассматриваются процессы прогнозирующие изменения доходности ARCH, GARCH.
+
+
 \appendix
 \setcounter{secnumdepth}{0}
 \section*{Приложения}

04-videostream-object-parameter-recognition-algorithms.tex

@@ -377,5 +377,62 @@ $S_x$ -- размер одного пикселя светочувствител
   и тогда переход - это и есть размытие. Что сделать, чтобы найти сигма-размытие -- переразмываем один раз и получаем известное $\sigma_1 \Rightarrow i_1(x)$ находим первую производную для обоих изображений. Берём отношение производных и получаем некоторый график ($\Omega$-образный), по нему можем определить точки, где график будет около нуля и расстояние между ними это и будет размытие.
 \end{itemize}
 
+\section{Детектирование характерных точек объекта}
+В первую очередь это контраст. то есть характерная точка это переход от контрастной к неконтрастной области, угловые, на рёбрах
+(1)
+
+Если объект сливается с фоном в видимом спектре его обнаружить не удастся.
+
+\textbf{Детекторы} -- обнаружение. \textbf{Дескрипторы} -- обнаружение и описание. Мы всё будем называть детекторами. Хороший алгоритм должен быть инвариантен к шумам и деформациям.
+
+\subsection{Детектор Моравеца}
+Самый простой детектор углов на изображении.
+(2)
+Чтобы найти объект проходим окном (3х3,5х5,9х9) по изображению и смотрим на изменение интенсивности центрального пикселя и окружающих. Пиксель характеризуется координатами $x$, $y$. Получаем 8 направлений смещения относительно пикселя ($u$, $v$).
+\[(u, v) \in \{(-1,0), (-1,-1), (0,-1), (1,-1), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1) \}\]
+
+\[V_{u,v}(x,y) = \sum_{\forall a,b}(I(x+u+a, y+v+b)-I(x+a, y+b))^2\]
+
+Если интенсивность одинаковая -- получим значение около нуля. Чем больше эта функция, тем характернее точка.
+(3)
+Самое максимальное изменение мы увидим на углу объекта. 
+
+\begin{itemize}
+\item [+] самый простой для интерпретации, программной реализации.
+\item [-] не инвариантен к поворотам, если у объекта есть большое количество диагональных рёбер.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Детектор Харриса}
+улучшение моравеца, инвариантен к поворотам. Рассматриваем первые производные от детектора моравеца. Ряд тейлора
+\[ I(x+y+a, y+v+b)\approx I(x+a, y+b) + u\frac{dI}{dx}+v\frac{dI}{dy}\]
+Сумма квадратов разностей и остаётся только часть со смещениями в векторном (транспонируемый вектор) виде
+\[ [\frac{dI}{dx} \frac{dI}{dy}] \cdot [u v] \]
+
+(формула ляма)
+\[V_{u,v}(x,y) = \sum_{\forall a,b}([\frac{dI}{dx} \frac{dI}{dy}] \cdot [u v])^2 = \sum[u v][u\frac{dI}{dx} v\frac{dI}{dy}]\cdot [\frac{dI}{dx} \frac{dI}{dy}][uv] = [uv](\sum[\frac{dI}{dx} \frac{dI}{dy}]\cdot[\frac{dI}{dx} \frac{dI}{dy}])\cdot [u v]\]
+получаем автокорреляционную матрицу $A_{u,v}(x,y)$. глядя на числа из неё можно понять характерны ли числа. Если числа большие -- пиксель можно характеризовать как угол. Если число $\lambda_1 \gg \lambda_2$  то это пиксель ребра. Если оба близки к нулю -- это не характерная точка.
+\begin{itemize}
+\item [+] инвариантен к поворотам.
+\item [-] более сложный по отношению к моравецу, восприимчив к шумам, не инвариантен к масштабированию
+\end{itemize}
+
+Модификация -- детектор Харриса-Лапласа -- инвариантен к масштабированию (из-за вторых производных).
+
+\subsection{Детектор FAST}
+Features from Accelerated Test
+(4)
+Рассматривается точка и окружность, а не прямоугольник. Окружность вписана в квадрат 7х7. Каждый пиксель тестовой выборки изображений $X\in[1...16]$ ищем три состояния -- темнее(D) светлее(B) и такой же(S), раскидываем в три множества.
+
+\[S =
+  \begin{cases}
+    d, I_x\leq I_p -t\\
+    s, I_p-t < I_x < I_p+t\\
+    b, I_p+t \leq I_x\\
+  \end{cases}
+\]
+
+Строим дерево решений. Множество которое соответствует узлу дерева разбивается на подмножества и на основе этих деревьев не рассматриваем всё, а проходим по дереву и находим характерные точки.
+
+\subsection{Детектор MSER}
 \end{document}