\documentclass[a4paper,fontsize=14bp]{article}

\input{settings/common-preamble}
\input{settings/fancy-listings-preamble}
\input{settings/bmstu-preamble}
\numerationTop

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\makeBMSTUHeader

\makeReportTitle{домашней}{№ 1}{Введение}{Анализ и прогнозирование временн\'{ы}х рядов}{а}{Е.А.Гребенюк}
\newpage
\sloppy
\pagestyle{fancy}
\section{Задание}
Рассмотрим процесс
\[y_t = \xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_t \sim N(0,1)\]
\begin{enumerate}
\item Является ли процесс $y_t$ обратимым и стационарным?
\item Найти автоковариационную функцию процесса $y_t$.
\item Вычислить дисперсию процесса $y_t$.
\item Рассматривается процесс ARMA(1, 1):

  $1-\alpha L y_t = (1-0.5L)\xi_t$, где $\alpha$ -- некоторое действительное число и $\xi_t = N(0,\sigma_\xi^2)$. Найти 
  \begin{itemize}
  \item все $\alpha \in \mathbb{R}$ для которых процесс является стационарным;
  \item все $\alpha \in \mathbb{R}$ для которых процесс является обратимым 
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\section{Выполнение}
\subsection{Обратимость и стационарность}
Для процесса возможно построить характеристическое уравнение. Если корни характеристического уравнения по модулю больше 1, то процесс обратим. Опишем в с помощью оператора сдвига
\[y_t = 1-2.5L+1L^2\]
и решим квадратное уравнение
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
1-2.5z+z^2=0\\
z = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
z_1 = \frac{-2.5-\sqrt{2.5^2-4}}{2}\\
z_1 = 1.25 + \sqrt{6.25-4} = 1.25 + 1.5 \approx 2.75\\
z_2 = \frac{-2.5+\sqrt{2.5^2-4}}{2}\\
z_2 = 1.25 - \sqrt{6.25-4} = 1.25 - 1.5  \approx -0.25
  \end{gathered}
\end{equation*}
Только один корень уравнения по модулю больше, поэтому процесс \textbf{не является обратимым}.

Процесс \textbf{является стационарным} по теореме Вольда.

\subsection{Автоковариационная функция}
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    \gamma(0) = Var(y_t) = 8.25\\
    \gamma(1) = cov(\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-1} - 2.5\xi_{t-2}+\xi_{t-3})=\\
    = E[\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-1} - 2.5\xi_{t-2}+\xi_{t-3}] = \\
    -2.5 \cdot 1 \cdot 1 + -2.5 \cdot 1 \cdot 1 = -5\\
    \gamma(2) = E[\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-2} - 2.5\xi_{t-3}+\xi_{t-4}] = 1 \cdot 1 = 1\\
    \gamma(3) = 0
  \end{gathered}
\end{equation*}

\subsection{Дисперсия процесса}
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    Var(y_t) = ?\\
    Var(y_t) = Var(\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2})=\\
    = Var(\xi_t) +Var(-2.5\xi_{t-1})+Var(\xi_{t-2}))=\\
    =Var(\xi_t) + 6.25(\xi_{t-1}) + Var(\xi_t) = \\
    8.25 \cdot Var(\xi_t) = 8.25
  \end{gathered}
\end{equation*}

\subsection{Процесс ARMA(1, 1)}
Для того чтобы процесс ARMA(1,1) был стационарным, необходимо выполнение следующих условий:
\begin{itemize}
\item Корни характеристического уравнения $1 - \alpha z = 0$ должны лежать вне единичного круга на комплексной плоскости. Характеристическое уравнение имеет вид $z = \frac{1}{\alpha}$, поэтому условие стационарности может быть записано как $|\frac{1}{\alpha}| > 1$, что эквивалентно $|\alpha| < 1$.
\item Веса авторегрессии и скользящего среднего должны быть ограничены, то есть $|\alpha| < 1$ и $|1 - \beta| < 1$, где $\beta$ - коэффициент скользящего среднего.
  Таким образом, из условия 1 получаем, что $|\alpha| < 1$. Из условия 2 следует, что $|1 - \alpha| < 1$, что эквивалентно $0 < \alpha < 2$. 
\end{itemize}
Таким образом, все значения $\alpha$ из интервала $(0, 1)$ удовлетворяют условиям стационарности процесса ARMA(1,1).

Процесс ARMA(1, 1) может быть записан как
$$
y_t = \alpha y_{t-1} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1}
$$
Для того чтобы процесс был обратимым, необходимо чтобы любое значение $y_t$ можно было выразить через прошлые значения ошибок $\xi_t, \xi_{t-1}, \xi_{t-2}, \dots$.
Рассмотрим процесс $y_{t-1}$:
$$
y_{t-1} = \alpha y_{t-2} + \xi_{t-1} - 0.5 \xi_{t-2}
$$
Теперь можем выразить $y_t$ через прошлые значения ошибок:
$$
\begin{aligned}
y_t &= \alpha y_{t-1} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1} \\
&= \alpha (\alpha y_{t-2} + \xi_{t-1} - 0.5 \xi_{t-2}) + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1} \\
&= \alpha^2 y_{t-2} + \alpha \xi_{t-1} - 0.5 \alpha \xi_{t-2} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1}
\end{aligned}
$$
Продолжая этот процесс, получаем:
$$
\begin{aligned}
y_t &= \alpha^t y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} \alpha^i \xi_{t-i-1} - 0.5 \sum_{i=1}^{t-1} \alpha^{i-1} \xi_{t-1-i} \\
&= \alpha^t y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} \alpha^i \xi_{t-i-1} - 0.5 \sum_{i=0}^{t-2} \alpha^i \xi_{t-i-2}
\end{aligned}
$$
Теперь мы можем выразить любое значение $y_t$ через прошлые значения ошибок, поэтому процесс будет обратимым для любого $\alpha$.
\end{document}