\documentclass[a4paper,fontsize=14bp]{article}

\input{settings/common-preamble}
\input{settings/fancy-listings-preamble}
\input{settings/bmstu-preamble}
%\setcounter{secnumdepth}{0}
\numerationTop

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\makeBMSTUHeader

% ... работе, номер, тема, предмет, ?а, кто
\makeReportTitle{лабораторной}{№ 1}{Введение}{Программное обеспечение телекоммуникационных систем}{}{И.М.Сидякин}
\newpage
\sloppy
\thispagestyle{empty}
\tableofcontents
\newpage
\pagestyle{fancy}
\section{Цель}
Знакомство с языком Erlang, средой исполнения программ на языке.

\section{Задание на часть 1}
\begin{enumerate}
\item Сделайте модуль с именем \code{fib}, в файле \code{fib.erl}.
\item Создайте, не используя хвостовую рекурсию, функцию \code{fib_p} которая получает один аргумент \code{N}, и возвращает \code{N}-е значение последовательности Фибоначчи. 
\item Создайте другую функцию без хвостовой рекурсии \code{fib_g} по той же спецификации, используя сторожевые последовательности.
\item Создайте третью функцию \code{tail_fib} по той же спецификации, но с хвостовой рекурсией. (Для хвостовой рекурсии понадобится вспомогательная функция).
\end{enumerate}

\section{Выполнение}
\subsection{Сопоставление с образцом}
Код выполненной лабораторной работы возможно найти по ссылке на \href{https://git.iovchinnikov.ru/ivan-igorevich/erlang-labs}{репозиторий}. Работа выполнена на двух устройствах (с синхронизацией работы через репозиторий):
\begin{verbatim}
Debian 11:
- IDEA 2022.3.1 CE
- ErlangPlugin 0.11.1162.
- Erlang/OTP 23 [erts-11.1.8] [64-bit]

Ubuntu 22.04:
- IDEA 2022.3.2 CE
- ErlangPlugin 0.11.1162.
- Erlang/OTP 25 [erts-13.0.4] [64-bit]
\end{verbatim}

Основные синтаксические конструкции, использованные при написании функций взяты из материалов к лабораторной работе, со слайда 1-27 презентации. Код написанного модуля, вычисляющего число Фибоначчи приведён в листинге \hrf{lst:fib-p}, код юнит-теста написанного модуля в листинге \hrf{lst:fib-p-test}, а снимок экрана, демонстрирующий успешность пройденных тестов на рисунке \hrf{pic:fib-p-pow}.

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код модуля}, label={lst:fib-p}]
-module(fib).
-export([fib_p/1]).

% <@\lh{dkgreen}{Сопоставление с образцом}@>
fib_p(0) -> 0;
fib_p(1) -> 1;
fib_p(N) -> fib_p(N - 1) + fib_p(N - 2).

\end{lstlisting}

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код тестов модуля}, label={lst:fib-p-test}]
-module(fib_test).
-include_lib("eunit/include/eunit.hrl").

fib_test_() -> [
  {"Test fib_p", fun test_fib_p/0 }
].

test_fib_p() ->
  ?assertEqual(0, fib:fib_p(0)),
  ?assertEqual(1, fib:fib_p(1)),
  ?assertEqual(1, fib:fib_p(2)),
  ?assertEqual(2, fib:fib_p(3)),
  ?assertEqual(3, fib:fib_p(4)),
  ?assertEqual(5, fib:fib_p(5)),
  ?assertEqual(8, fib:fib_p(6)),
  ?assertEqual(13, fib:fib_p(7)),
  ?assertEqual(21, fib:fib_p(8)),
  ?assertEqual(34, fib:fib_p(9)),
  ?assertEqual(55, fib:fib_p(10)).

\end{lstlisting}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=16cm]{04-tss-01-lab-fib-p.png}
  \caption{Запуск и успешное выполнение тестов}
  \label{pic:fib-p-pow}
\end{figure}

\subsection{Сторожевая последовательность и ключевое слово \code{when}}
Основные синтаксические конструкции, использованные при написании функций взяты из материалов к лабораторной работе, со слайда 1-28 презентации и из \href{https://www.erlang.org/doc/getting_started/seq_prog.html#matching,-guards,-and-scope-of-variables}{документации} к языку.

Код написанного модуля, вычисляющего число Фибоначчи с помощью сторожевой последовательности приведён в листинге \hrf{lst:fib-g}, код юнит-теста написанного модуля в листинге \hrf{lst:fib-g-test}, а снимок экрана, демонстрирующий успешность пройденных тестов для обеих функций на рисунке \hrf{pic:fib-g-pow}.

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код модуля}, label={lst:fib-g}]
-module(fib).
-export([fib_p/1, fib_g/1]).

% <@\lh{dkgreen}{Сопоставление с образцом}@>
% ...

% <@\lh{dkgreen}{Сторожевая последовательность}@>
fib_g(N) when N < 1 -> 0;
fib_g(N) when N < 2 -> 1;
fib_g(N) -> fib_g(N - 1) + fib_g(N - 2).

\end{lstlisting}

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код тестов функции}, label={lst:fib-g-test}]
-module(fib_test).
-include_lib("eunit/include/eunit.hrl").

fib_test_() -> [
  {"Test fib_p", fun test_fib_p/0 },
  {"Test fib_g", fun test_fib_g/0 }
].

% test_fib_p()/0 -> ...

test_fib_g() ->
  ?assertEqual(0, fib:fib_g(0)),
  ?assertEqual(1, fib:fib_g(1)),
  ?assertEqual(1, fib:fib_g(2)),
  ?assertEqual(2, fib:fib_g(3)),
  ?assertEqual(3, fib:fib_g(4)),
  ?assertEqual(5, fib:fib_g(5)),
  ?assertEqual(8, fib:fib_g(6)),
  ?assertEqual(13, fib:fib_g(7)),
  ?assertEqual(21, fib:fib_g(8)),
  ?assertEqual(34, fib:fib_g(9)),
  ?assertEqual(55, fib:fib_g(10)).

\end{lstlisting}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=10cm]{04-tss-01-lab-fib-g.png}
  \caption{Запуск и успешное выполнение тестов}
  \label{pic:fib-g-pow}
\end{figure}

\subsection{Использование хвостовой рекурсии}
Основные синтаксические конструкции, использованные при написании функций взяты из материалов к лабораторной работе, со слайда 1-31 презентации и из \href{https://ru.wikipedia.org/wiki/Хвостовая_рекурсия}{статьи} в Wikipedia.

Код написанного модуля, вычисляющего число Фибоначчи с помощью сторожевой последовательности приведён в листинге \hrf{lst:fib-g}, код юнит-теста написанного модуля в листинге \hrf{lst:fib-g-test}, а снимок экрана, демонстрирующий успешность пройденных тестов трёх функций на рисунке \hrf{pic:fib-g-pow}.

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код модуля}, label={lst:fib-t}]
-module(fib).
-export([fib_p/1, fib_g/1, tail_fib/1]).

% <@\lh{dkgreen}{Сопоставление с образцом}@>
% ...

% <@\lh{dkgreen}{Сторожевая последовательность}@>
% ...

% <@\lh{dkgreen}{Хвостовая рекурсия}@>
tail_fib(N) -> tfib(N, 0, 1).
tfib(0, Result, Next) -> Result;
tfib(N, Result, Next) -> tfib(N - 1, Next, Result + Next).

\end{lstlisting}

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код тестов функции}, label={lst:fib-t-test}]
-module(fib_test).
-include_lib("eunit/include/eunit.hrl").

fib_test_() -> [
  {"Test fib_p", fun test_fib_p/0 },
  {"Test fib_g", fun test_fib_g/0 },
  {"Test tail_fib", fun test_tail_fib/0 }
].

% test_fib_p()/0 -> ...

% test_fib_g()/0 -> ...

test_tail_fib() ->
  ?assertEqual(0, fib:tail_fib(0)),
  ?assertEqual(1, fib:tail_fib(1)),
  ?assertEqual(1, fib:tail_fib(2)),
  ?assertEqual(2, fib:tail_fib(3)),
  ?assertEqual(3, fib:tail_fib(4)),
  ?assertEqual(5, fib:tail_fib(5)),
  ?assertEqual(8, fib:tail_fib(6)),
  ?assertEqual(13, fib:tail_fib(7)),
  ?assertEqual(21, fib:tail_fib(8)),
  ?assertEqual(34, fib:tail_fib(9)),
  ?assertEqual(55, fib:tail_fib(10)).

\end{lstlisting}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=10cm]{04-tss-01-lab-fib-t.png}
  \caption{Запуск и успешное выполнение тестов}
  \label{pic:fib-t-pow}
\end{figure}

\subsection{Проверка времени выполнения}
Основные синтаксические конструкции, использованные при написании функций взяты из \href{https://www.erlang.org/doc/man/timer.html#tc-3}{документации} к языку и \href{https://www.tutorialspoint.com/erlang/erlang_loops.htm}{статьи}.

Код функций, вычисляющих время исполнения функций приведён в листинге \hrf{lst:fib-time}, снимки экрана, демонстрирующие время выполнения функций рисунке \hrf{pic:fib-t-time}.

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Время выполнения}, label={lst:fib-time}]
say() -> io:format("The result is: ~p~n", [tail_fib(10)]).

exec_time(Depth) -> Start = os:timestamp(),
  tail_fib(Depth),
  io:format("Depth = ~p, Time ~f sec~n", [Depth, (timer:now_diff(os:timestamp(), Start) / 1000)]).

for(0, _, _) -> [];
for(N, Term, Step) when N > 0 ->
  exec_time(N),
  [Term | for(N - Step, Term, Step)].

start_time_chack() ->
  for(50000, 5000, 5000).

\end{lstlisting}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}[b]{0.47\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{04-tss-01-lab-fib-time-p.png}
    \caption{\code{fib_p}}
    \label{pic:fib-p-time}
  \end{subfigure}
  \hfill
  \begin{subfigure}[b]{0.47\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{04-tss-01-lab-fib-time-t.png}
    \caption{\code{tail_fib}}
    \label{pic:fib-tail-time}
  \end{subfigure}
  \caption{Время выполнения функций}
  \label{pic:fib-t-time}
\end{figure}

\subsection{Контрольные вопросы}

\begin{enumerate}
\item Начиная с \code{N = 20} увеличивать \code{N} с шагом \code{5} до тех пор, пока вычисление \code{fib_p(N)} будет занимать меньше пяти секунд. При каком \code{N} это условие перестает выполняться? Почему так происходит?

Время исполнения превышает \code{5} секунд при подсчёте 30-го значения Фибоначчи. Это происходит, потому что при прямом подсчёте чисел Фибоначчи рекурсивным способом происходит повторное вычисление каждого числа, входящего в состав вычисляемого и дерево рекурсивных вызовов разрастается квадратично. 

\item Сколько времени тратится на вычисление \code{tail_fib(10000)}? Почему?

На вычисление 10000-го значения Фибоначчи функцией с хвостовой рекурсией тратится значительно меньше времени (1,371 сек), поскольку функция переиспользует вычисленные на ранних этапах значения для вычисления каждого следующего, что делает её больше похожей на простой цикл в процедурном программировании.
\end{enumerate}

\section{Задание на часть 2}
Квадраты простых чисел и функция Мёбиуса

\begin{enumerate}
\item Создайте модуль с именем \code{mobius}, в файле \code{mobius.erl}.
\item Создайте функцию \code{is_prime}, которая получает аргумент \code{N} и возвращает \code{true}, если число простое или \code{false}, если число не является простым.
\item Сделайте функцию \code{prime_factors}, которая получает аргумент \code{N} и возвращает список простых сомножителей \code{N}.
\item Сделайте функцию \code{is_square_multiple}, которая получает аргумент \code{N}, и возвращает \code{true}, если аргумент делится на квадрат простого числа или \code{false}, если не длится.
\item Наконец, сделайте функцию \code{find_square_multiples(Count, MaxN)}. Эта функция получает \code{Count} -- длину последовательности чисел делящихся на квадрат простого числа, и \code{MaxN} -- максимальное значение, после которого надо прекратить поиск.
  \begin{itemize}
  \item Если функция находит \code{Count} чисел подряд, делящихся на квадрат простого числа в диапазоне \code{[2, MaxN]}, она должна вернуть первое число из этой последовательности.
  \item Если функция не находит серию из \code{Count} чисел делящихся на квадрат простого числа в этом диапазоне, она должна вернуть атом fail.
  \end{itemize}
\item \label{item:task-work} Найдите первый ряд из чисел делящихся на квадрат простого числа длиной 4, длиной 5, и длиной 6. Нужно выбрать значение \code{MaxN} равное 30000. Программа должна завершить вычисления в пределах одной минуты.
\end{enumerate}

\section{Выполнение}
\subsection{Функция вычисления простого числа}
Функция последовательно перебирает все числа от «корня из искомого + 1» до 2, возвращая ложь при $N < 2$. Если найдено число, остаток от деления на которое искомого даёт 0 -- искомое не считается простым. В работе используется встроенная в язык функция \code{trunc()}, отсекающая дробную часть передаваемого в аргументе числа.

Код функции приведён в листинге \hrf{lst:is-prime}, сниок экрана, демонстрирующий корректность выполнения функции (с использованием тестов) на рисунке \hrf{pic:is-prime}. Во время работы также была написана функция для проведения ручного тестирования, представленная на рисунке \hrf{pic:say-prime}, демонстрирующем, что число 1111 не является простым..

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=10cm]{04-tss-01-lab-say-prime.png}
  \caption{Ручная проверка работы фукнции}
  \label{pic:say-prime}
\end{figure}

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код функции}, label={lst:is-prime}]
%% region is_prime
is_prime(N) when N < 2 ->
  false;
is_prime(N) ->
  is_prime(N, 2, trunc(math:sqrt(N)) + 1).

is_prime(_, Max, Max) ->
  true;
is_prime(N, I, Max) ->
  if
    N rem I =:= 0 ->
      false;
    true ->
      is_prime(N, I + 1, Max)
  end.
%% endregion
\end{lstlisting}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=10cm]{04-tss-01-lab-is-prime.png}
  \caption{Запуск и успешное выполнение тестов}
  \label{pic:is-prime}
\end{figure}

\subsection{Вычисление сомножителей}
Функция имеет ограничение и выполняется только для тех чисел, на которые делится без остатка исходное (\code{when X rem N == 0}) с 2 до искомого, складывая в список все значения, меньшие, чем «корень из искомого + 1». Код функции приведён в листинге \hrf{lst:prime-factors}, сниок экрана, демонстрирующий корректность выполнения функции на рисунке \hrf{pic:prime-factors}.

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код функции}, label={lst:prime-factors}]
%region factor
prime_factors(N) ->
  prime_factors(N, 2, []).

prime_factors(X, N, Primes) when X rem N == 0 ->
  prime_factors(trunc(X / N), 2, [N | Primes]);
prime_factors(X, N, Primes) ->
  case N < math:sqrt(X) + 1 of
    true ->
      prime_factors(X, N + 1, Primes);
    false ->
      [X | Primes]
  end.
%endregion
\end{lstlisting}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=15cm]{04-tss-01-lab-prime-factors.png}
  \caption{Демонстрация работы функции}
  \label{pic:prime-factors}
\end{figure}

\subsection{Функция вычисления делимости на квадрат простого числа}
Функция перебирает список полученных функцией \code{prime_factors} множителей на наличие повторений, последовательно выделяя головной элемент списка и вызывая функцию \code{lists:member}\footnote{\href{https://www.tutorialspoint.com/erlang/erlang_member.htm}{примеры использования функции}}. Для пустого списка функция возвращает ложь. Например, для числа 111 (\hrf{is-sq-mul1}) функция возвращает ложь, а для 10000 (\hrf{is-sq-mul2}) истину. Код функции представлен в листинге \hrf{lst:is-sq-mul}, а результаты проверки представлены на рисунке \hrf{pic:is-sq-mul}

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код функции}, label={lst:is-sq-mul}]
%% region is_square_multiple
is_square_multiple(N)->
  is_square_multiple_fun(prime_factors(N)).

is_square_multiple_fun([H | T]) ->
  case lists:member(H, T) of
    true -> true;
    false -> is_square_multiple_fun(T)
  end;

is_square_multiple_fun([]) ->
  false.
%% endregion is_square_multiple
\end{lstlisting}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}[b]{0.47\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{04-tss-01-lab-mul1.png}
    \caption{}
    \label{pic:is-sq-mul1}
  \end{subfigure}
  \hfill
  \begin{subfigure}[b]{0.47\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{04-tss-01-lab-mul2.png}
    \caption{}
    \label{pic:is-sq-mul2}
  \end{subfigure}
  \caption{}
  \label{pic:is-sq-mul}
\end{figure}

\subsection[Функция-обёртка \code{find\_square\_multiples}]{Функция-обёртка \code{find_square_multiples}}
Функция работает с ограничением  по длине найденных значений в списке (\code{when length(FoundSquareMultipleNumber) == Count}) и последовательно уменьшает максимальное число до которого нужно выполнять поиск (ищет не с начала, а с конца). Для максимального значения 2 -- нужно прекратить поиск, в этом случае функция выводит атом \code{fail}. Если проверка \code{is_square_multiple(TestNumber)} возвращает истину, число прибавляется (конкатенируется) к списку уже найденных. Код функции представлен в листинге \hrf{lst:find-sq-mul}. Для проверки работы был написан тест с предложенными в методическом пособии значениями (листинг \hrf{lst:sq-mul-test}). Тест пройден успешно (рисунок \hrf{pic:sq-mul-test}).

\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код тестов}, label={lst:sq-mul-test}]
test_find_square_multiples() ->
  ?assertEqual(fail, mobius:find_square_multiples(3, 20)),
  ?assertEqual(48, mobius:find_square_multiples(3, 50)).
\end{lstlisting}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{04-tss-01-lab-sq-mul-test.png}
  \caption{Результат прохождения теста}
  \label{pic:sq-mul-test}
\end{figure}


\begin{lstlisting}[language=Erlang, style=CCodeStyle, caption={Код функции}, label={lst:find-sq-mul}]
%% region find_square_multiples
find_square_multiples(Count, MaxN) ->
  find_square_multiples_fun(Count, MaxN, []).

find_square_multiples_fun(Count, CurrentNumber, FoundSquareMultipleNumber)
    when length(FoundSquareMultipleNumber) == Count  ->
  CurrentNumber + 1;

find_square_multiples_fun(_, 2, _) ->
  fail;

find_square_multiples_fun(Count, TestNumber, FoundSquareMultipleNumber) ->
  case is_square_multiple(TestNumber) of
    true -> FoundsNumber = FoundSquareMultipleNumber ++ [TestNumber];
    false -> FoundsNumber = []
  end,
  find_square_multiples_fun(Count, TestNumber - 1, FoundsNumber).
%% endregion find_square_multiples
\end{lstlisting}

Для выполнения п. \hrf{item:task-work} был описан цикл, последовательно увеличивающий число находимых множителей. Результат работы цикла с замерами времени приведён на рис. \hrf{pic:final}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=17cm]{04-tss-01-lab-final.png}
  \caption{Результат выполнения задания}
  \label{pic:final}
\end{figure}

\end{document}