\documentclass[a4paper,fontsize=14bp]{article}

\input{settings/common-preamble}
\input{settings/fancy-listings-preamble}
\input{settings/bmstu-preamble}
\numerationTop

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\makeBMSTUHeader

\makeReportTitle{домашней}{№ 1}{Введение}{Анализ и прогнозирование временн\'{ы}х рядов}{а}{Е.А.Гребенюк}
\newpage
\sloppy
\pagestyle{fancy}
\section{Задание}
Рассмотрим процесс
\[y_t = \xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_t \sim N(0,1)\]
\begin{enumerate}
\item Является ли процесс $y_t$ обратимым и стационарным?
\item Найти автоковариационную функцию процесса $y_t$.
\item Вычислить дисперсию процесса $y_t$.
\item Рассматривается процесс ARMA(1, 1):

  $1-\alpha L y_t = (1-0.5L)\xi_t$, где $\alpha$ -- некоторое действительное число и $\xi_t = N(0,\sigma_\xi^2)$. Найти 
  \begin{itemize}
  \item все $\alpha \in \mathbb{R}$ для которых процесс является стационарным;
  \item все $\alpha \in \mathbb{R}$ для которых процесс является обратимым 
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\section{Выполнение}
\subsection{Обратимость и стационарность}
Для процесса возможно построить характеристическое уравнение. Если корни характеристического уравнения по модулю больше 1, то процесс обратим. Опишем в с помощью оператора сдвига
\[y_t = 1-2.5L+1L^2\]
и решим квадратное уравнение
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
1-2.5z+z^2=0\\
z = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
z_1 = \frac{-2.5-\sqrt{-2.5^2-4}}{2}\\
z_1 = 1.25 + \sqrt{1.5625-1} \approx 2\\
z_2 = \frac{-2.5+\sqrt{-2.5^2-4}}{2}\\
z_2 = 1.25 - \sqrt{1.5625-1} \approx 0.5
  \end{gathered}
\end{equation*}
Только один корень уравнения по модулю больше, поэтому процесс \textbf{не является обратимым}.

Процесс \textbf{является стационарным} по теореме Вольда.

\subsection{Автоковариационная функция}
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    \gamma(0) = Var(y_t) = 8.25\\
    \gamma(1) = cov(\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-1} - 2.5\xi_{t-2}+\xi_{t-3})=\\
    = E[\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-1} - 2.5\xi_{t-2}+\xi_{t-3}] = \\
    -2.5 \cdot 1 \cdot 1 + -2.5 \cdot 1 \cdot 1 = -5\\
    \gamma(2) = E[\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-2} - 2.5\xi_{t-3}+\xi_{t-4}] = 1 \cdot 1 = 1\\
    \gamma(3) = 0
  \end{gathered}
\end{equation*}

\subsection{Дисперсия процесса}
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    Var(y_t) = ?\\
    Var(y_t) = Var(\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2})=\\
    = Var(\xi_t) +Var(-2.5\xi_{t-1})+Var(\xi_{t-2}))=\\
    =Var(\xi_t) + 6.25(\xi_{t-1}) + Var(\xi_t) = \\
    8.25 \cdot Var(\xi_t) = 8.25
  \end{gathered}
\end{equation*}

\subsection{Процесс ARMA(1, 1)}


\end{document}