\documentclass{article}

\input{settings/common-preamble}
\input{settings/bmstu-preamble}
\input{settings/fancy-listings-preamble}
\author{Оганов Владимир Игоревич}
\title{Разработка сложных электронных устройств}
\date{2023-02-08}
\usetikzlibrary{math}
\tikzmath{
  function sinc(\x) {
    if  abs(\x) < .001 then { % (|x| < .001) ~ (x = 0)
      return 1;
    } else {
      return sin(\x r)/\x;
    };
  };
}

\begin{document}
\sloppy
\fontsize{14}{18}\selectfont
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
Характеристики цепей
Преобразования сигнала
\section{Введение}
Электроника базируется на физике. Разделы физики -- электричество в металлах, в полупроводниках и электромагнитные поля\footnote{\href{https://ru.wikipedia.org/wiki/Правила_Киргофа}{Киргоф}, \href{https://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_Ома}{Ом}}. Упрощают моделирование сложных систем, предоставляют математический аппарат.

Сложное электронное устройство: Если получается большая схема -- это признак неправильно решённой задачи. Каждая лишняя деталь -- источник шумов, погрешностей, итд. компенсация порождает лавинный эффект. Проектирование сложных цифровых устройств -- это проектирование цифровых устройств \textit{как можно проще}. Электронное устройство не работает само по себе, а всегда в связке с окружающим миром и физическими параметрами, с которыми нужно уметь работать изначально. От параметров окружающей среды (источника и потребителя) зависит выбор технологии обработки внутри.

\begin{frm} Например, digital remastering -- интерполяция звука с 44.1КГц через 96КГц в 192КГц.\end{frm}

Сейчас наблюдается тренд  к максимально быстрой оцифровке аналогового сигнала. После АЦП существует два пути -- мягкая реализация, DSP-микропроцессоры, или жёсткая -- ПЛИС или CPLD.

\begin{enumerate}
\item Сигнал -- это физический процесс, содержащий информацию;
\item электрический сигнал -- ток и напряжение изменённые во времени (связаны законом Ома).
  \[
    \begin{cases}
      i(t)\\
      u(t)
    \end{cases}
  \]
  электричество получается по закону электромагнитной индукции Фарадея.
\item все электрические сигналы рассматриваются в двух областях -- зависимость по времени и зависимость по частоте. Во времени на сигнал смотрим осциллографом, в частоте спектроанализатор. Связаны преобразованием Фурье.
  \[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega}dt\]
\end{enumerate}

$x(t)$ -- это входной непрерывный сигнал, умножаем на (ортогональный базис) тригонометрическую функцию. То есть ищем спектральную составляющую (корреляционный детектор). Ортогональный базис ($\cos(\omega)+\j\sin(\omega)$) нужен для поиска фазы (если будет только синус или косинус -- будем знать только амплитуду).

Анализатор спектра (аналоговый непрерывного действия)
\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{14}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=1.01]{pics/04-cedd-00-spectrum-analyzer.svg}
\end{figure}


\[ x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\ X(j\omega) e^{j\omega}d\omega \]

Когда работаем с цифровыми сигналами -- дискретное преобразование фурье, интеграл заменяется на сумму и берём не бесконченость, а определённое число отсчётов.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{11}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=.85]{pics/04-cedd-00-common-device.svg}
  \caption{Электронное устройство (обобщённое)}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item Датчик преобразует электрический сигнал
\item АО -- на стандартных элементах (усилители фильтры иногда умножители)
\item ФПО -- фильтр для подавления цифровых образов (двойников)
\item УВХ (устройство выборки и хранения) + АЦП
\item дискретизация по времени (УВХ) и квантование по уровню (АЦП). Сигнал при переходе в цифру всегда теряет информацию, важно минимизировать эти потери.
\item ЦВБ
\item ЦАП
\item Деглитчер
\item Восстанавливающий фильтр
\item Драйвер и аналоговое исполнительное устройство
\end{itemize}

\begin{frm} Любое инженерное решение - это всегда компромисс. \end{frm}

\section{Дискретизация сигнала во временной и частотной области}

Дискретизация -- умножение на последовательность единичных импульсов. Дельта функция Дирака \footnote{\href{https://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/Series/4/01-6.htm}{Подробнее}}.

\[ \delta(t) =  \begin{cases} +\infty t=0 \\ 0 t \neq 0  \end{cases} \]

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1 \]

Бесконечная спектральная функция ведёт к бесконечной энергии, что физически невозможно. Перемножение во временной области --  это свёртка в частотной и наоброт.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{12}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=1.01]{pics/04-cedd-00-signal-discretization.svg}
  \caption{Дискретизация сигнала}
\end{figure}

Дискретный сигнал в частотной области -- бесконечное число повторяющихся копий дискретного представления сигнала. В цифровом вычислительном блоке мы всегда работаем с дискретным сигналом. Важно на каком расстоянии стоят частоты дискретного сигнала (виртуальные образы цифрового сигнана). Чтобы они не накладывались друг на друга нужна предварительная фильтрация (производимая ФПО). 

Дискретизация -- это умножение входного сигнала на импульсы дискретизации.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{12}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=1.01]{pics/04-cedd-00-sig-sampling.svg}
\end{figure}
где $t = nT$.

УВХ -- является мостом от аналогового к цифровому сигналу. Ключ управляется сигналами управления, формируя схему SHA, Sampling-Hold Amplifier.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{12}{1}\selectfont
  \begin{subfigure}[b]{0.49\textwidth}
    \centering
    \includesvg[scale=.9]{pics/04-cedd-00-sig-sampling-sha.svg}
    \caption{Обычное}
  \end{subfigure}
  \hfill
  \begin{subfigure}[b]{0.49\textwidth}
    \centering
    \includesvg[scale=.91]{pics/04-cedd-00-sig-sampling-sha-diff.svg}
    \caption{Дифференциальное}
  \end{subfigure}
  \caption{УВХ}
\end{figure}

Конденсатор нужен для того чтобы сохранить значение пока АЦП квантует. Если напряжение с конденсатора уйдёт до того, как АЦП завершит работу -- получим погрешность.

\begin{frm}
  Общий алгоритм дискретизации следующий: Ключ замыкается -- конденсатор запоминает -- ключ размыкается -- АЦП квантует.
\end{frm}

Время сбора информации влияет на наличие эффекта фильтрации. Чтобы конденсатор быстрее зарядился нужно уменьшать ёмкость (но она быстрее будет разряжаться). Идеального решения не существует. Ключ -- это два транзистора в противофазе\footnote{Аналоговый мультиплексор -- это набор из ключей}.

В реальности используется не УВХ а Устройство \textbf{Слежения} и Хранения Track-Hold Amplifier ключ всегда закрыт и снимается значение в момент размыкания ключа. В идеальном ключе мы хотим чтобы включенный был с нулевым сопротивлением, а выключенный с бесконечным (обычно, существуют I-утечки).

АЦП различают с функцией дискретизации (Sampling ADC) и без (non-sampling ADC). Динамические характеристики АЦП должны выбираться по характеристикам УВХ.

\[ u(t) = \frac{U_0\tau}{T} + \frac{U_0\tau}{T}\sum_{K=1}^\infty\frac{2\sin(K\omega\frac{\tau}{2})}{K\omega\frac{\tau}{2}}\cos{K\omega t} \]

$\frac{\sin{X}}{X}$ -- первый замечательный предел

  \begin{tikzpicture}
    \draw[help lines] (-3.5,-1.5) grid (3.5,1.5);
    \begin{scope}[very thick, domain=-pi:pi, samples=100, smooth]
      \draw[red]  plot (\x,{sinc(5*\x)});
    \end{scope}
  \end{tikzpicture}

При меньшей ширине сигнала (если $X \to 0$, значит мы имеем дело с единичным импульсом (функцией Дирака)) его спектр равен единице умноженной на косинус сигнала, а значит спектр импульсов дискретизации бесконечный.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{12}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=1.01]{pics/04-cedd-00-sampling-afc.svg}
  \caption{Завал из-за усреднения напряжения на УВХ}
\end{figure}

В предельном случае -- импульсная характеристика идеального ФНЧ, а в реальности это простая фильтрация. то есть сам АЦП выступает в роли фильтра.

\subsection{Субдискретизация}
Идеальный дискретизатор дельта функция Дирака.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{14}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=1.01]{pics/04-cedd-00-subdiscr.svg}
\end{figure}

Ширина зоны -- $0.5f_s$, $f_s$ -- частота дискретизации, $\tau \to 0$ -- длительность импульса, $f_a$ -- интересующий нас сигнал.

\[ |\pm Kf_s \pm f_a|; k=1,2,3,4 \]

1 зона -- основная полоса. Частотный спектр делится на бесконечное количество зон.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{10}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=.9]{pics/04-cedd-00-subdiscr-2.svg}
  \caption{$f_S = 4f_a$}
\end{figure}
На временной диаграмме видно, что сигнал восстанавливается.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{10}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=.9]{pics/04-cedd-00-subdiscr-3.svg}
  \caption{$f_S = 2f_a$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{10}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=.9]{pics/04-cedd-00-subdiscr-4.svg}
  \caption{$f_S = 1.5f_a$}
\end{figure}

Следствие эффекта наложения дискретного сигнала -- появление Внеполосной помехи. Очевидно нужен ФНЧ с полосой пропускания $0...f_s/2$. Идельаный фильтр не получится, поэтому нужен фильтр какого-то порядка.

Требования к фильтру.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{12}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=.91]{pics/04-cedd-00-filter-demand.svg}
  \caption{Для первой зоны}
\end{figure}

ДД -- динамический диапазон преобразования ограничивает эффект наложения. Фильтр ограничен разрядностью. Добиваться точности больше, чем число разрядов (1/256 для 8-разрядного) нет смысла.
\begin{itemize}
\item полоса пропускания должна быть $0...f_a$;
\item переходная полоса $f_a...f_s-f_a$;
\item полоса задержания $f_s-f_a...\infty$;
\item ослабление = ДД.
\end{itemize}
порядок фильтра $M = \frac{DD}{6\lg_2(\frac{f_s-f_a}{f_s})}$. Каждый порядок фильтра даёт 6дБ на октаву или 10 на декаду. Какого порядка можно реализовать аналоговый фильтр? Порядок определяется энергозапоминающими элементами. Больше 12 порядков аналоговые фильтры уже не делают, потому что вынуждены каскадировать, добавляя разбросы и погрешности.

Можно уменьшить требование по частоте фильтра, увеличив частоту дискретизации (передискретизация). И возможно применить операцию децимации (но все образы обратно сдвинутся и наложатся) поэтому перед децимацией нужно отфильтровать цифровым фильтром.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{12}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=.91]{pics/04-cedd-00-filter-more.svg}
\end{figure}

Жертва в этом случае -- более дорогой избыточной АЦП, наличие ЦФ. Но при этом возможно снизить аналоговый фильтр до первого порядка, поставив простую RC-цепочку.

Чтобы понять порядок ЦФ -- нужно подать единичный импульс. После ЦАП также нельзя делать большой порядок, поэтому делаем интерполяцию. 

\section{Теорема Котельникова}
Криетрий ограниченности спектра сигнала. $x(t)$ - имеет ограниченный спектр частот, если его преобразование фурье равно нулю для всех $\omega$ больших чем $2\pi f_a$, где $f_a$ -- ширина спектра процесса
\[X(j\omega) = 0; |\omega| > 2\pi f_a\]
Каждый процесс с ограниченным спектром $X(t)$ может быть представлен в виде
\[X(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(t_k) \frac{sin 2\pi f_a(t-t_k)}{2\pi f_a(t-t_k)}\]
где $t_k = \frac{k}{2f_a}$, $k=0, \pm1, \pm2, \pm3...$.

$\frac{sin 2\pi f_a(t-t_k)}{2\pi f_a(t-t_k)}$ -- импульсная характеристика идеального фильтра низких частот с прямоугольной АЧХ. То есть это указание о том, как именно восстанавливать сигнал -- пропустить через идеальный ФНЧ. Важно в теореме -- ширина спектра сигнала. а не максимальная частота.

(1)

Вводить для 8-битной системы мощные средства передискретизации -- избыточно.

Классический случай дискретизации -- когда исходный сигнал находится в первой зоне (рис2, рис4). Другие сигналы называются полосовые сигналы. Для полосового сигнала спектр окажется такой же

\subsection{Субдискретизация}
Субдискретизация -- (англ. under-sampling) дискретизация полезного сигнала, располагающегося вне основной полосы, т.е. лежащего в зоне с номером больше, чем 1 (полосовая дискретизация).

Орбита-ТМ М32
\begin{itemize}
\item $f_c \approx 219MHz$
\item $\Delta f = 6MHz$
\item $3MBps$
\item Фазовая манипуляция
\end{itemize}

Котельников в лоб -- дискретизация должна быть на 400+ МГЦ.

(2)

Применяя методику субдискретизации можно существенно уменьшить требования к параметрам приёмника. Но требования к АЦП остаются такими же.

(3)
Когда сигнал лежит в зоне нечётным номером -- это полный образ, если с чётным -- инверсия. В любом случае в интересующей полосе образ.

Фильтр для классической дискретизации -- это ФНЧ. для субдискретизации -- полосовой фильтр.

(4)

полосовой фильтру
полоса пропускания f1-f2
переходная полоса справа f2...2fs-f2 слева f1...fs-f1
полоса задержания <fs-f1 >2fs-f2

Если большой ДД -- нужен большой порядок фильтра. Снизить требование поможет также передискретизация -- плис -- цифровая фильтрация с прореживанием.

Методика расчёта чатоты дискретизации при субдискретизации (Как сделать, чтобы сигнал лежал строго в середине зоны)

$f_c$ -- центральная частота полосового сигнала, $f_s>2\Delta f$

\[f_s = \frac{4f_c}{2z-1}\]

$z$ -- номер зоны. Пусть ширина полосы = 4МГц, центральная частота 71МГц, по теореме К $f_s = 8$МГц. зона будет равна 18.25, зона не может быть дробным, округялем до ближайшего целого, снова подставляем в эту же формулу, частота дискретизации будет 8,1143МГц. Если хотим запас фильтрации больше -- фс=10МГц, подставляем в выражение - зона 14,7, округляем до 14, частота дискретизации = 10,519МГц.

\section{Квантование}
Дискретный сигнал -- это сигнал с конечным количеством отсчётов, но разрядность пока бесконечна, поэтому возможно применить разрядность АЦП. Передаточная характеристика идеального квантователя

(5)

явно теряем в точности.

Signal-Noise-Ratio

\[SNR = 6,02N + 1,76dB\]

N -- разрядность. Сигнал -- нестационарный процесс, имеет равномерное распределение от 0 до фс/2, не коррелирует со входным сигналом, матмодель - входной сигнал умножается на шум квантования.

Если аналоговая частота больше -- есть более общий вариант

\[SNR = 6,02N + 1,76dB +10\log_{10}(\frac{f_s}{2f_a})\]

Если частота дискретизации много больше - частота увеличилась, а разрядность не увеличитася, тогда шум уменьшается. Шум всегда будет коррелировать с сигналом, это можно использовать, подав собственный шум на низкой частоте.

\section{Характеристики АЦП}

(6)
память+пэвм -- способ проверить АЦП для своей системы.

Характеристики могут быть статические и динамические. Статические:
\begin{itemize}
\item Дифференциальная нелинейность DNL
\item Интегральная нелинейность INL
\item пропущенные коды missing code
\item ошибка усиления gain error
\item ошибка смещения offset error
\end{itemize}

(7) ПХ идеального АЦП, все центры кода лежат на прямой
(8) пример ПХ реального АЦП.

Дифференциальная нелинейность -- наибольшее отклонение ширины кода от идеального значения в МЗР или процентах от полной шкалы.

Интегральная нелинейность -- наихудшее отклонение центра кода от прямой, также измеряется в МЗР или процентах от полной шкалы.

Пропущенные коды формируется из первых двух. в примере 8 кода 011 не будет, в даташите будет написано no missing code если например (N=14) то на младших разрядах можем уже не видеть биты.

Эти ошибки невозможно исправить

Ошибка смещения - это аддитивная добавка напряжения на входе проценты от шкалы

ошибка усиления - угол начального наклона (мультипликативная ошибка)

Эти ошибки возможно исправить программно или внешними аналоговыми цепями.

Динамические характеристики
\begin{itemize}
\item Реальное отношение сигнал-шум ($SNR_{real}$)
  для н-разрядного АЦП возможно посчитать теорию. Реальная характеристика точно будет отличаться.
  N=8, SNR=49,7dB. реальный может быть 48,1 или 47,1 (первый лучше) зависит от частоты типовой график
  (9)
  обратный график - эффективное число бит
  \[ENoB = \frac{SNR_{real} - 1,76dB}{6,02}\]
\item Коэффициент гармонических искажений Total Harmonic Distortion -- отражает качество и линейность кармоник. Чем меньше брать в расчёт гармоник - тем легче продать. $THD=\sqrt{\frac{A_2+A_3...}{A_1}}\%$. 
\item сигнал шум и искажение (SINAD) типовая схема 4096 отсчётов. более качественный параметр.
\end{itemize}


\end{document}
