109 lines
5.9 KiB
TeX
109 lines
5.9 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,fontsize=14bp]{article}
|
||
|
||
\input{settings/common-preamble}
|
||
\input{settings/fancy-listings-preamble}
|
||
\input{settings/bmstu-preamble}
|
||
\numerationTop
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
\thispagestyle{empty}
|
||
\makeBMSTUHeader
|
||
|
||
\makeReportTitle{домашней}{№ 1}{Введение}{Анализ и прогнозирование временн\'{ы}х рядов}{а}{Е.А.Гребенюк}
|
||
\newpage
|
||
\sloppy
|
||
\pagestyle{fancy}
|
||
\section{Задание}
|
||
Рассмотрим процесс
|
||
\[y_t = \xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_t \sim N(0,1)\]
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Является ли процесс $y_t$ обратимым и стационарным?
|
||
\item Найти автоковариационную функцию процесса $y_t$.
|
||
\item Вычислить дисперсию процесса $y_t$.
|
||
\item Рассматривается процесс ARMA(1, 1):
|
||
|
||
$1-\alpha L y_t = (1-0.5L)\xi_t$, где $\alpha$ -- некоторое действительное число и $\xi_t = N(0,\sigma_\xi^2)$. Найти
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item все $\alpha \in \mathbb{R}$ для которых процесс является стационарным;
|
||
\item все $\alpha \in \mathbb{R}$ для которых процесс является обратимым
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\section{Выполнение}
|
||
\subsection{Обратимость и стационарность}
|
||
Для процесса возможно построить характеристическое уравнение. Если корни характеристического уравнения по модулю больше 1, то процесс обратим. Опишем в с помощью оператора сдвига
|
||
\[y_t = 1-2.5L+1L^2\]
|
||
и решим квадратное уравнение
|
||
\begin{equation*}
|
||
\begin{gathered}
|
||
1-2.5z+z^2=0\\
|
||
z = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
|
||
z_1 = \frac{-2.5-\sqrt{2.5^2-4}}{2}\\
|
||
z_1 = 1.25 + \sqrt{6.25-4} = 1.25 + 1.5 \approx 2.75\\
|
||
z_2 = \frac{-2.5+\sqrt{2.5^2-4}}{2}\\
|
||
z_2 = 1.25 - \sqrt{6.25-4} = 1.25 - 1.5 \approx -0.25
|
||
\end{gathered}
|
||
\end{equation*}
|
||
Только один корень уравнения по модулю больше, поэтому процесс \textbf{не является обратимым}.
|
||
|
||
Процесс \textbf{является стационарным} по теореме Вольда.
|
||
|
||
\subsection{Автоковариационная функция}
|
||
\begin{equation*}
|
||
\begin{gathered}
|
||
\gamma(0) = Var(y_t) = 8.25\\
|
||
\gamma(1) = cov(\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-1} - 2.5\xi_{t-2}+\xi_{t-3})=\\
|
||
= E[\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-1} - 2.5\xi_{t-2}+\xi_{t-3}] = \\
|
||
-2.5 \cdot 1 \cdot 1 + -2.5 \cdot 1 \cdot 1 = -5\\
|
||
\gamma(2) = E[\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-2} - 2.5\xi_{t-3}+\xi_{t-4}] = 1 \cdot 1 = 1\\
|
||
\gamma(3) = 0
|
||
\end{gathered}
|
||
\end{equation*}
|
||
|
||
\subsection{Дисперсия процесса}
|
||
\begin{equation*}
|
||
\begin{gathered}
|
||
Var(y_t) = ?\\
|
||
Var(y_t) = Var(\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2})=\\
|
||
= Var(\xi_t) +Var(-2.5\xi_{t-1})+Var(\xi_{t-2}))=\\
|
||
=Var(\xi_t) + 6.25(\xi_{t-1}) + Var(\xi_t) = \\
|
||
8.25 \cdot Var(\xi_t) = 8.25
|
||
\end{gathered}
|
||
\end{equation*}
|
||
|
||
\subsection{Процесс ARMA(1, 1)}
|
||
Для того чтобы процесс ARMA(1,1) был стационарным, необходимо выполнение следующих условий:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Корни характеристического уравнения $1 - \alpha z = 0$ должны быть по модулю больше единицы. Характеристическое уравнение имеет вид $z = \frac{1}{\alpha}$, поэтому условие стационарности может быть записано как $|\frac{1}{\alpha}| > 1$, что эквивалентно $|\alpha| < 1$.
|
||
\item Веса авторегрессии и скользящего среднего должны быть ограничены, то есть $|\alpha| < 1$ и $|1 - \beta| < 1$, где $\beta$ - коэффициент скользящего среднего.
|
||
Таким образом, из условия 1 получаем, что $|\alpha| < 1$. Из условия 2 следует, что $|1 - \alpha| < 1$, что эквивалентно $0 < \alpha < 2$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Таким образом, все значения $\alpha$ из интервала $(0, 1)$ удовлетворяют условиям стационарности процесса ARMA(1,1).
|
||
|
||
Процесс ARMA(1, 1) может быть записан как
|
||
$$
|
||
y_t = \alpha y_{t-1} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1}
|
||
$$
|
||
Для того чтобы процесс был обратимым, необходимо чтобы любое значение $y_t$ можно было выразить через прошлые значения ошибок $\xi_t, \xi_{t-1}, \xi_{t-2}, \dots$.
|
||
Рассмотрим процесс $y_{t-1}$:
|
||
$$
|
||
y_{t-1} = \alpha y_{t-2} + \xi_{t-1} - 0.5 \xi_{t-2}
|
||
$$
|
||
Теперь можем выразить $y_t$ через прошлые значения ошибок:
|
||
$$
|
||
\begin{aligned}
|
||
y_t &= \alpha y_{t-1} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1} \\
|
||
&= \alpha (\alpha y_{t-2} + \xi_{t-1} - 0.5 \xi_{t-2}) + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1} \\
|
||
&= \alpha^2 y_{t-2} + \alpha \xi_{t-1} - 0.5 \alpha \xi_{t-2} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1}
|
||
\end{aligned}
|
||
$$
|
||
Продолжая этот процесс, получаем:
|
||
$$
|
||
\begin{aligned}
|
||
y_t &= \alpha^t y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} \alpha^i \xi_{t-i-1} - 0.5 \sum_{i=1}^{t-1} \alpha^{i-1} \xi_{t-1-i} \\
|
||
&= \alpha^t y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} \alpha^i \xi_{t-i-1} - 0.5 \sum_{i=0}^{t-2} \alpha^i \xi_{t-i-2}
|
||
\end{aligned}
|
||
$$
|
||
Теперь мы можем выразить любое значение $y_t$ через прошлые значения ошибок, поэтому процесс будет обратимым для любого $\alpha$.
|
||
\end{document}
|