BMSTU/04-tsaf-01-hw.tex

109 lines
5.9 KiB
TeX
Raw Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters

This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.

\documentclass[a4paper,fontsize=14bp]{article}
\input{settings/common-preamble}
\input{settings/fancy-listings-preamble}
\input{settings/bmstu-preamble}
\numerationTop
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\makeBMSTUHeader
\makeReportTitle{домашней}{№ 1}{Введение}{Анализ и прогнозирование временн\'{ы}х рядов}{а}{Е.А.Гребенюк}
\newpage
\sloppy
\pagestyle{fancy}
\section{Задание}
Рассмотрим процесс
\[y_t = \xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_t \sim N(0,1)\]
\begin{enumerate}
\item Является ли процесс $y_t$ обратимым и стационарным?
\item Найти автоковариационную функцию процесса $y_t$.
\item Вычислить дисперсию процесса $y_t$.
\item Рассматривается процесс ARMA(1, 1):
$1-\alpha L y_t = (1-0.5L)\xi_t$, где $\alpha$ -- некоторое действительное число и $\xi_t = N(0,\sigma_\xi^2)$. Найти
\begin{itemize}
\item все $\alpha \in \mathbb{R}$ для которых процесс является стационарным;
\item все $\alpha \in \mathbb{R}$ для которых процесс является обратимым
\end{itemize}
\end{enumerate}
\section{Выполнение}
\subsection{Обратимость и стационарность}
Для процесса возможно построить характеристическое уравнение. Если корни характеристического уравнения по модулю больше 1, то процесс обратим. Опишем в с помощью оператора сдвига
\[y_t = 1-2.5L+1L^2\]
и решим квадратное уравнение
\begin{equation*}
\begin{gathered}
1-2.5z+z^2=0\\
z = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
z_1 = \frac{-2.5-\sqrt{2.5^2-4}}{2}\\
z_1 = 1.25 + \sqrt{6.25-4} = 1.25 + 1.5 \approx 2.75\\
z_2 = \frac{-2.5+\sqrt{2.5^2-4}}{2}\\
z_2 = 1.25 - \sqrt{6.25-4} = 1.25 - 1.5 \approx -0.25
\end{gathered}
\end{equation*}
Только один корень уравнения по модулю больше, поэтому процесс \textbf{не является обратимым}.
Процесс \textbf{является стационарным} по теореме Вольда.
\subsection{Автоковариационная функция}
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\gamma(0) = Var(y_t) = 8.25\\
\gamma(1) = cov(\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-1} - 2.5\xi_{t-2}+\xi_{t-3})=\\
= E[\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-1} - 2.5\xi_{t-2}+\xi_{t-3}] = \\
-2.5 \cdot 1 \cdot 1 + -2.5 \cdot 1 \cdot 1 = -5\\
\gamma(2) = E[\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2}, \xi_{t-2} - 2.5\xi_{t-3}+\xi_{t-4}] = 1 \cdot 1 = 1\\
\gamma(3) = 0
\end{gathered}
\end{equation*}
\subsection{Дисперсия процесса}
\begin{equation*}
\begin{gathered}
Var(y_t) = ?\\
Var(y_t) = Var(\xi_t - 2.5\xi_{t-1}+\xi_{t-2})=\\
= Var(\xi_t) +Var(-2.5\xi_{t-1})+Var(\xi_{t-2}))=\\
=Var(\xi_t) + 6.25(\xi_{t-1}) + Var(\xi_t) = \\
8.25 \cdot Var(\xi_t) = 8.25
\end{gathered}
\end{equation*}
\subsection{Процесс ARMA(1, 1)}
Для того чтобы процесс ARMA(1,1) был стационарным, необходимо выполнение следующих условий:
\begin{itemize}
\item Корни характеристического уравнения $1 - \alpha z = 0$ должны быть по модулю больше единицы. Характеристическое уравнение имеет вид $z = \frac{1}{\alpha}$, поэтому условие стационарности может быть записано как $|\frac{1}{\alpha}| > 1$, что эквивалентно $|\alpha| < 1$.
\item Веса авторегрессии и скользящего среднего должны быть ограничены, то есть $|\alpha| < 1$ и $|1 - \beta| < 1$, где $\beta$ - коэффициент скользящего среднего.
Таким образом, из условия 1 получаем, что $|\alpha| < 1$. Из условия 2 следует, что $|1 - \alpha| < 1$, что эквивалентно $0 < \alpha < 2$.
\end{itemize}
Таким образом, все значения $\alpha$ из интервала $(0, 1)$ удовлетворяют условиям стационарности процесса ARMA(1,1).
Процесс ARMA(1, 1) может быть записан как
$$
y_t = \alpha y_{t-1} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1}
$$
Для того чтобы процесс был обратимым, необходимо чтобы любое значение $y_t$ можно было выразить через прошлые значения ошибок $\xi_t, \xi_{t-1}, \xi_{t-2}, \dots$.
Рассмотрим процесс $y_{t-1}$:
$$
y_{t-1} = \alpha y_{t-2} + \xi_{t-1} - 0.5 \xi_{t-2}
$$
Теперь можем выразить $y_t$ через прошлые значения ошибок:
$$
\begin{aligned}
y_t &= \alpha y_{t-1} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1} \\
&= \alpha (\alpha y_{t-2} + \xi_{t-1} - 0.5 \xi_{t-2}) + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1} \\
&= \alpha^2 y_{t-2} + \alpha \xi_{t-1} - 0.5 \alpha \xi_{t-2} + \xi_t - 0.5 \xi_{t-1}
\end{aligned}
$$
Продолжая этот процесс, получаем:
$$
\begin{aligned}
y_t &= \alpha^t y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} \alpha^i \xi_{t-i-1} - 0.5 \sum_{i=1}^{t-1} \alpha^{i-1} \xi_{t-1-i} \\
&= \alpha^t y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} \alpha^i \xi_{t-i-1} - 0.5 \sum_{i=0}^{t-2} \alpha^i \xi_{t-i-2}
\end{aligned}
$$
Теперь мы можем выразить любое значение $y_t$ через прошлые значения ошибок, поэтому процесс будет обратимым для любого $\alpha$.
\end{document}