BMSTU/04-time-series-analysis-forecasting.tex

\documentclass{article}

\input{settings/common-preamble}
\input{settings/bmstu-preamble}
\input{settings/fancy-listings-preamble}
\author{Гребенюк Елена Алексеевна}
\title{Анализ и прогнозирование временных рядов}
\date{2023-02-08}

\begin{document}
\sloppy
\fontsize{14}{18}\selectfont
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Введение}

\href{https://jino.cloud/s/GGZgntaAqMRQbK2}{Вентцель -- Теория вероятностей}
  
\href{https://jino.cloud/s/8qNSXycHpkmmmZb}{Гмурман -- Теория вероятностей и математическая статистика}

\subsection{Содержание курса}
\begin{enumerate}
\item Построение моделей временных рядов, линейные модели: ARMA, AR,MA, ECM. Прогноз.
\item Ряды со стохастическим трендом и их модели: ARIMA, SARIMA.
\item Модели с условной гетероскедастичностью: ARCH, GARCH (модели для прогнозирования волатильности доходности финансовых активов).
\item Сингулярный спектральный анализ (SSA).
\item Локальная аппроксимация (LA).
\item Алгоритмы обнаружения изменений свойств временных рядов.
\end{enumerate}
\subsection{Модель случайности}
Вероятностное пространство включает следующие элементы: $\{\Omega, F, P \}$, где $\Omega = \{ \omega_1, \omega_2, ... \}$ -- пространство элементарных событий, множество(конечное или счетное); $F$ -- $\sigma$ -алгебра событий -- структура на множестве событий $\Omega$; P -- вероятность -- мера, определенная на F.
$\sigma$ -алгебра F - набор подмножеств (подмножеств событий), который
\begin{enumerate}
\item содержит достоверное событие: $\Omega \subset F$.
\item вместе с любым событием $A \subset F$ содержит и противоположное к нему: если $A \subset F$, то $\overline{A} \subset F$.
\item вместе с любыми событиями $A_1, A_2, ... A_n, ...$ система F содержит их объединение -- если $A_1, A_2, ... A_n \subset F, то \cup_{i=1}^{\infty} A_i \subset F$.
\end{enumerate}
(сигма-алгебра позволяет включить бесконечное число множеств.)

Мера -- это неотрицательная $\sigma$-аддитивная функция множеств, всегда положительная если пространство дискретно.

Пусть: $\Omega$ -- некоторое множество, и F -- $\sigma$-алгебра его подмножеств. Функция $\mu: F \to R \cup + \infty$ называется мерой на $\{ \Omega, F \}$ если она удовлетворяет условиям:
\begin{itemize}
\item для любого множества $A \in F$ его мера неотрицательна: $\mu(A) \gg 0 $;
\item для любого счётного набора попарно непересекающихся множеств
  $A_1, A_2, A_3, ... \in F$ (т.е. такого, что $A_i \cap A_j = \oslash$ при всех $i \neq j$) мера их объединения равна сумме их мер:
  \[ \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) \]
\end{itemize}

(другими словами) $\Omega$ - это множество всех возможных значений. $F$ -- это вероятность получения определённого сочетания. например, бросаем кубик и за два броска выпало $\{ 1, 2 \}$. какая вероятность?
\[ \frac{6!}{2! * 4!} = 15, \]
то есть 1/15. Или, например есть температура, которая может изменяться равномерно в интервале $10^\circ - 15^\circ$. тогда её вероятность $P < 7,5 = 1/2$

\subsection{Определение вероятности}
Функция распределения представляет собой вероятность того, что случайная величина $\xi$ будет меньше ...\footnote{неразборчиво}. Неубывающая, всегда либо растёт, либо постоянна. непрерывна слева (значит справа необязательно определена).

Вероятностью называется числовая функция P, определенная на $\sigma$-алгебре $F$ со значениями в $R, (P: F \to R)$ и удовлетворяющая следующей системе аксиом:
\begin{enumerate}
\item $0 \ll P(A) \ll 1, \forall A \in F$;
\item Для любого счётного набора попарно несовместных событий $A_1, A_2, A_3, ... \in F$ выполняется равенство $(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$.
\item $P\{\Omega\} = 1$
\end{enumerate}

Случайная величина представляет собой измеримое отображение вероятностного пространства $\{ \Omega, F, P \}$ в измеримое пространство $\{ R, F(R), P_X \}$ на числовой прямой.

Пусть $\Omega = \{ \omega_1, \omega_2, ..., \omega_n, ...\}$. Если случайная величина может принимать не более чем счетное число значений, то она называется дискретной, если конечное число значений, то простой:

\[ \xi(\omega) = \sum_{i}X_iI_{A_i}(\omega), I_A(\omega) =
  \begin{cases}
    1, \omega \in A \\
    0, \omega \notin A
  \end{cases}
\]

Распределение дискретной случайной величины задается набором вероятностей $p_1, p_2, ..., p_n, ...$ таких, что $\sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1$.


\subsection{Непрерывная случайная величина, функция распределения случайной величины}
Непрерывная случайная величина имеет плотность (справедливо только для абсолютно непрерывных).

Случайная величина может принимать не только дискретные значения, но и
любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала: $(a, b), [\infty, b], ...$. Такая величина называется \textbf{непрерывной случайной величиной}.

Соответствие между значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она их принимает, называют \textbf{законом распределения случайной величины}. Для дискретной случайной величины этот закон задается простым перечислением вероятностей каждого ее значения.

\textbf{Функцией распределения случайной величины} $\xi$ называется функция $F_X(x)$, при каждом $x$ равная вероятности того, что случайная величина $X$ принимает значения, меньшие, чем $x$:

\[ F_X(x) = P(X < x)\]

\subsection{Абсолютно непрерывная функция распределения}
Функция распределения $F_X(x)$ называется абсолютно непрерывной, если существует такая функция $p_X(x)$, что
\[ F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b p_X(x) dx \]
называется плотностью распределения случайной величины X.

Теорема:
\begin{enumerate}
\item $p_{\xi}(x) \geq 0$ для любого $x$.
\item $\int_{-\infty}^{\infty} p_\xi(x)dx = 1$
\end{enumerate}
Любая функция $p_\xi(x)$, удовлетворяющая условиям теоремы может рассматриваться как плотность распределения некоторой случайной величины.

\subsection{Нормальное распределение}
Непрерывная случайная величина $X$ имеет нормальное или гауссовское распределение с параметрами $a$ и $\sigma$, если плотность вероятности ее равна

\[ p_X(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}, \]

где $a \in R, \sigma > 0$. Обозначение: $N(a, \sigma^2)$, где $a$ -- математическое ожидание, $\sigma$ -- среднее квадратичное отклонение.

Функция распределения:
\[ F_X(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} dx = \Phi_0(\frac{x-a}{\sigma}) \]

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includesvg[scale=1.01]{pics/04-tsaf-00-norm-disp.svg}
\end{figure}

оба графика это нормальное распределение. у синего среднее $0$ у красного среднее $-1$. сигма это разброс относительно среднего. важно, что площадь одинаковая. распределение зарактеризуется двумя параметрами -- среднее и дисперсия. у красной
\[ P_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{(x+1)^2}{2\sigma^2}}\]
у синей ($a = 0, \sigma = 1$)
\[ P_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \]
получается у второго будет меньше вариативности, около -1.

\subsection{Стандартное нормальное распределение}
$a = 0, \sigma = 1$ -- параметры, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ -- плотность.

\[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-infty}^xe^{-\frac{x^2}{2}}dx = F(x)\] функция распределения,
\[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^xe^{-\frac{x^2}{2}}dx = \Phi(x)\] обозначение.

Свойства нормального распределения
\begin{enumerate}
\item Если случайная величина $X$ имеет нормальное распределение $N_{a, \sigma^2}$, то
  \[F_X(x) = \Phi_{a, \sigma^2}(x) = \Phi_0(\frac{x-a}{\sigma})\]
\item Если $\xi\sim N_{a, \sigma^2}$, то
  \[ P(x_1 < \xi < x_2) = \Phi_{a, \sigma^2}(x_2) - \Phi_{a, \sigma^2}(x_1) = \Phi_0(\frac{x_2-a}{\sigma}) - \Phi_0(\frac{x_1-a}{\sigma}) \]
\end{enumerate}

Свойства стандартного нормального распределения
\begin{itemize}
\item $\Phi_0(0) = 0,5$
\item $\Phi_0(-x) = 1-\Phi_0(x)$
\item $P(|\xi| < x) = 1-2\Phi_0(-x) = 2\Phi_0(x) - 1$
\item \textbf{Правило трёх сигм} -- если отклонение случайной величины меньше трёх сигм (стандартных отклонений) мы считаем что вероятность пренебрежимо мала.
\item Если $x\sim N(a,\sigma^2)$, то $P(|\xi - a| < 3\sigma) \approx 0,997$
\end{itemize}

Математическим ожиданием случайной величины $Х$ с плотностью $р_X(х)$ называется неслучайная велична
\[ m_X = \int xp_X(x) dx,\]
если этот интеграл сходится, то есть $\int |x| p_X(x) dx < \infty$. Если $X$ -- дискретная величина, то 
\[ m_X = \sum_{i=1}^x x_ip(X=x_i)\]

\begin{frm}
  Случайность -- это отсутствие полной информации об эксперименте.
\end{frm}

если кубик бросить сто раз в среднем выпадет значение 3,5. мат ожидание одного броска = 3,5.

Свойства математического ожидания случайной величины
\begin{enumerate}
\item МО константы равно самой константе: $Eg = g$;
\item Константу $g$ можно выносить за знак МО:
  \[ EgX = gEX=gm_x\]
\item МО суммы двух СВ равно сумме МО слагаемых:
  \[ E(X+Y) = EX+EY\]
\item МО произведения двух случайных функций $X$ и $Y$ равно произведению МО, если $X$ и $Y$ -- некоррелированные СВ:
  \[E(X*Y) = EX*EY\]
\item МО суммы случайной и неслучайной функций равно сумме МО случайной $X$ и неслучайной величины $g$:
  \[E\{g+X\} = g+EX\]
\end{enumerate}

\subsection{Дисперсия случайной величины}
Дисперсией СВ $X$ называется неслучайная величина
\[ D_X = \int (x-m_x)^2 px(x) dx\]
Свойства ДСВ
\begin{enumerate}
\item Дисперсия неслучайной величины равна нулю. $D(g) = 0$
 \[ \overline{DX}=\frac{\sum_{i-1}^{n}(x_i-\overline{X})^2}{n-1} \]
\item Дисперсия суммы СВ $X$ и неслучайной $g$ равна ДСВ
  \[ D(g+X) = DX\]
\item Д произведения СВ $X$ на константу $g$ равна произведению квадрата константы на ДСВ
  \[ D(g*X) = g^2DX\]
\item Д суммы двух случайных функций $X$ и $Y$ равна сумме Д слагаемых, если СВ $X$ и $Y$ некоррелированы
  \[ D(X+Y) = DX+D\xi(t)\]
\end{enumerate}

\subsection{Зависимые и независимые случайные величины, ковариация и корреляция}
Во временных рядах каждое следующее значение в момент $t$ зависит от предыдущего в момент $t-1$. Например, изменение температуры или цен. Если эта зависимость существует, то существует связь, мера этой связи называется ковариацией. ковариация величины с самой собой это дисперсия.

Две случайные величины $X$ и $Y$ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Ковариация – это мера линейной зависимости случайных величин -- $cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$.
\begin{enumerate}
\item $cov(X,X) = Var(X)$;
\item $cov(X,Y) = cov(Y,X)$;
\item $cov(cX,Y) = c$;
\item $cov(a+bX)(c+dY) = bd*cov(X,Y)$.
\end{enumerate}
\[ \rho(X,Y) = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X) * Var(Y)}} = \text{корреляция}\]

Белый шум -- это когда МО = 0, дисперсия $\sigma^2 != 0$, а ковариация = 0.

\subsection{Модель скользящего среднего}
\[ X_t = \sum_{i=0}\alpha_i \sum_{t-i}\]
где альфа - сходимый ряд (бесконечная сумма меньше бесконечности)

\[X_t = 2_\infty \xi_{t-1} - 3\xi_{t-2} + \xi_t + 1\]

мат ожидание = 1 , если величины независимы -- матожидание = 0. Дисперсия суммы (если величины независимы) 
\[ Var(X_t) = Var(2\xi_{t-1}) - Var(3\xi_{t-2}) + Var(\xi_t + 1) = 4Var(\xi_{t-1}) + 9Var(\xi_{t+2}) + Var \xi_t = 14\]

\[Cov(X_t X_{t-1}\]

\[Var(x\pm y) = Var(x) + Var(y) \pm 2Cov(x, y),\]
если $x$ и $y$ не кореллируют.

\subsection{Процесс авторегрессии первого порядка (Марковский процесс)}
$y_t = \alpha y_{t-1} + \xi_t$ -- уравнение процесса. $E(y_t) = \alpha E(y_{t-1}) + E(\xi_t)$ -- математическое ожидание процесса.

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
Var(y_t) = \alpha^2Var(y_{t-1}) + 2\alpha cov(y_{t-1}, \xi_t) + Var(\xi_t) \\
y_t = \alpha y_{t-1} + \xi_t = \alpha(\alpha y_{t-2} + \xi_1) + \xi_t + ... \\
Var(y_t) = \gamma(0) = \frac{\sigma_\xi^2}{1-\alpha^2} (\text{дисперсия процесса})\\
cov(y_t, y_{t+k}) = \gamma(0) = ??\\
E(y_t, y_t) = Var(y_t) = \alpha^2Var(y_{t}) + 2\alpha cov(y_{t-1}, \xi_t) + Var(\xi_t)\\
\sigma_y^2 = \alpha^2\sigma_y^2 + \sigma_\xi^2 \Rightarrow |\alpha| < 1\\
(1-\alpha L) y_t = \xi_t\\
(1-\alpha L)^{-1}(1-\alpha L)y_t = (1-\alpha L)^{-1}\xi_t = \xi_t + \alpha\xi_{t-1}+...+\alpha^k\xi_{t-k}+...\\
y_t = \xi_t + \alpha\xi_{t-1}+...+\alpha^k\xi_{t-k}+... (\text{при условии сходимости ряда})\\
\sum_{j=0}^\infty \alpha^j = \frac{1}{1-\alpha} < \infty \Rightarrow |\alpha| < 1
  \end{gathered}
\end{equation*}

\section{Анализ и прогнозирование временных рядов}
Рассмотрим класс динамических объектов поведение которых может быть описано последовательностью наблюдений, полученных в дискретные моменты времени. Значения наблюдений в момент времени $t$ зависят
\begin{enumerate}
\item от значений, зарегистрированных в предыдущие моменты времени,
\item от совокупного воздействия множества случайных факторов.
\end{enumerate}
Полученную последовательность случайных величин, мы будем называть временным рядом.

рассмотрение динамических объектов.
\begin{enumerate}
\item могут быть описаны одномерными или многомерными временными рядами
\item образующие временной ряд последовательности случайных величин не являются независимыми. наблюдаемое значение в момент времени $t$ зависит от значений, зарегистрированных в предыдущие моменты времени
\item закон распределения может изменяться от числа наблюдаемых временных отсчётов и момента наблюдения $k$.
\end{enumerate}

\begin{frm} Временной ряд представляет собой последовательность наблюдений, выполняемых в фиксированные промежутки времени. Предполагается, что временной ряд образует последовательность случайных величин, которая является случайным процессом. \end{frm}

\subsection{Цели АВР}
\begin{itemize}
\item выявление закономерностей изучаемых процессов
\item построение моделей для прогноза;
\item обнаружение изменений свойств с целью контроля и управления процессом, выработка сигналов, предупреждающих о нежелательных последствиях.
\end{itemize}

\subsection{Стационарность рядов}
Ряд называется стационарным в широком смысле (или слабостационарным), если его дисперсия и матожидание существуют и не зависят от времени, а автокорреляционная функция зависит только от величины сдвига.
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    E(Y_t) = \mu;\\
    Var(Y_t) = \sigma^2\\
    M_K = \int_a^b(x - mx)^a p(x) dx\\
    \gamma(k) = \rho(Y_t, Y_{t-k}) = \frac{cov(Y_t, Y_{t-k})}{\sqrt{Var(Y_t) * Var(Y_{t-k})}}
  \end{gathered}
\end{equation*}

Свойства стационарного (в ШС) ВР
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
EY_t = \mu; Var(Y_t) = \sigma^2\\
Cov(Y_t, Y_{t+\tau}) = E[(Y_T - EY_t)(Y_{t+\tau}-EY_{t+\tau})] = \gamma(\tau) = \gamma_\tau\\
\gamma(0) = (\gamma_0) = cov(Y_t, Y_t) = Var(Y_t)\\
\rho(Y_t, Y_{t+\tau}) = \frac{cov(Y_t,Y_{t+\tau})}{\sqrt{Var(Y_t) * Var(Y_{t+\tau})}} = \frac{\gamma(\tau)}{\gamma(0)} = \rho(\tau) = \rho(0) = \frac{\gamma(0)}{\gamma(0)} = 1
  \end{gathered}
\end{equation*}


Чтобы определнить степень зависимости, лучше использовать нормальные величины.

\subsection{Свойство Гауссова процесса}
Функции распределения Гауссова процесса любого порядка определяются вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей. Следовательно из слабой стационарности следует строгая стационарность.

Гауссовский белый шум. Модель процесса
\[ Y_t = \xi_t, \xi_t = N(0, \sigma^2)\]

Свойства процесса
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    EY_t = 0, Var Y_t = \sigma^2\\
    \gamma_j = \rho_j = 0 \iff j \neq 0
  \end{gathered}
\end{equation*}
Обозначение $\xi_t\sim WN(0, \sigma^2)$

\subsection{Основные определения}
\begin{itemize}
\item Ковариации и корреляции между элементами $y_t$ и $y{t+\tau}$ процесса называются автоковариациями и автокорреляциями.
\item Последовательность автокорреляций называется автокорреляционной функцией процесса.
\item График автокорреляционной функции называется кореллограммой.
\end{itemize}

\subsection{Оператор сдвига}
Оператором сдвига называется такое преобразование временного ряда, которое смещает ряд на один временной интервал назад
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    LY_t = Y_{t-1}\\
    L^kY_t = Y_{t-k}\\
    (\alpha L^k)Y_t=\alpha(L^kY_t)=\alpha Y_{t-k}\\
    (\alpha L^k + \beta L^m)Y_t= \alpha L^kY_t + \beta L^mY_t = \alpha Y_{t-k} + \beta Y_{t-m}\\
    L^{-k}Y_t=T_{t+k}
  \end{gathered}
\end{equation*}
например
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    (1-0.5L)(1+0.6L^4)Y_t = c+\xi_t\\
    (1+0.6L^4 - 0,5L - 0.3L^5)Y_t = c+\xi_t\\
    Y_t - 0.5Y_{t-1}+0.6Y_{t-4}-0.3Y_{t-5} = c+\xi_t
  \end{gathered}
\end{equation*}

\subsection{Теорема Вольда}
Любой стационарный в широком смысле случайный процесс без детерминированной составляющей может быть представлен в виде
\[ Y_t - \mu = \sum_{j=0}^\infty \beta_j \xi_{t-j}, \]
где $\sum_{j=0}^\infty \beta_j < \infty, E(\xi_t) = 0; E(Y_t) = \mu; Var(\xi_t)=\sigma^2; cov(\xi_i, \xi_j) = 0 \iff i \neq j$.

Если в разложении Вольда случайного процесса присутствует только конечное число членов, то такой процесс называется моделью скользящего среднего (MA(q), moving average).
\[Y_t - \mu = \sum_{j=0}^q \beta_j\xi_{t-j} \]

Различные формы представления МА
\begin{itemize}
\item исходный ряд $Y_1, ..., Y_t, ...$
\item центрированный процесс $y_t = Y_t - \mu$
\item $MA(q)$ центрированного процесса $y_t = \sum_{j=0}^q \beta_j\xi_{t-j}$
\item с использованием оператора сдвига $y_t = B(L)\xi_t$
  \[ y_t = \sum_{j=0}^q(\beta_jL^j)\xi_{t} = (1 + \beta_1L + \beta_2L^2 + ... + \beta_qL^q) \xi_t\]
\end{itemize}

Обратимый процесс -- это процесс, при котором существует такой оператор, при котором сумма операндов равна единице. Для бесконечных процессов условие обратимости находить очень сложно.

Процесс $y_t=\xi_t+\beta_1\xi_{t-1}+\beta_2\xi_{t-2}+...+\beta_q\xi_{t-q}=B(L)\xi_t$ обратим, если для него существует представление $A(L)y_t=\xi_t$ такое, что $A(L) * B(L) = 1$.

Можем для процесса построить характеристическое уравнение (взять коэффициенты и приравнять нулю). Если корни характеристического уравнения по модулю больше 1, то процесс обратим.

\subsection{Свойства процесса MA(q)}
\begin{enumerate}
\item Процесс MA(q) стационарен, так как он представляет собой частный случай разложения Вольда.
\item Процесс $y_t = (1 + \beta_1L + \beta_2L^2 + ... + \beta_qL^q) \xi_t$ обратим, если корни характеристического уравнения по модулю больше единицы
  \[ |\frac{1}{z_j}| < 1, |z_j| > 1, j = 1,2,...,q \]
\end{enumerate}

\subsection{Процесс авторегрессии}
Для того, чтобы процесс авторегрессии был стационарным необходимо, чтобы корни характеристического уравнения $A(z) = 1-\alpha_1\lambda-\alpha_2\lambda^2-...-\alpha_k\lambda^k = 0$ были по модулю больше единицы

Пример. Процесс МА
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = \xi_t + \beta_1\xi_{t-1}\\
    Var(y_t) = Cov(y_t, y_t) = \gamma(0) = \sigma^2(1+\beta_1^2)\\
    Var(y_t) = Var(\xi_t+\beta_1\xi_{t-1}))\\
    Cov(y_t, y_{t+k}) = 0; k>1\\
    Cov(y_t, y_{t+1}) = \gamma(1) = \sigma_\xi^2\beta_1\\
    Cov(y_t, y_{t+1}) = Cov(\xi_t + \beta_1\xi_{t-1}, \xi_{t+k} + \beta_1\xi_{t+k-1})
  \end{gathered}
\end{equation*}

Корреляция между $y_t$ и $y_{t+\tau}$вычисляется по формуле
\[ \rho_\tau = \rho(\tau) = \frac{\gamma(\tau)}{\gamma(0)} \]

\subsection{Модель авторегрессии}
\begin{equation}
  \begin{gathered}
  y_t = \alpha_1y_{t-1}+\alpha_2y_{t-2}+...+\alpha_Py_{t-p}+\xi_t AR\{K\}\\
  y_t = \xi_t +\beta_1\xi_{t-1}+ ...+\beta_q\xi_{t-q}; MA(q)\\
  y_t = \alpha_1y_{t-1}+...+\alpha_ky_{t-k} = \beta_1\xi_{t-1}; ARMA(p,q)
  \end{gathered}
  \label{eq:arima-models}
\end{equation}

$ARIMA(p, d, q);$ Если ряд -- стационарный, то строим модель по $d=0$ если нет то строим модель по разности.

Основной инструмент для выбора границ порядков -- автокорреляционная и частная автокорреляционная функция временного ряда. Если в авторегрессии для значения члена то в модели скользящего среднего не может быть больше двух членов.

\newpage

\section{АКФ процесса}
процесс

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = 0,6y_{t-1} + 0,2y_{t-2 + \xi_t}, \xi\approx(0,1)\\
    cov(y_t, y_{t-1}) = cov(0,6y_{t-1}, y_{t-1}) = cov(0,2y_{t-2}, y_{t-2}) + cov(\xi_{t}, y_{t-1})\\
    \gamma(1) = 0,6\gamma(0) + 0,2\gamma(1)\\
    \gamma(0) = 0,6\gamma(1) + 0,2\gamma(2) + 1; cov(\xi_t, y_t) = cov(\xi_t, \xi_t-1)\\
    \gamma(2) = 0,6\gamma(1) + 0,2\gamma(0)\\
    \gamma(3) = 0,6\gamma(2) + 0,2 \gamma(1)\\
    \gamma(K) = 0,6\gamma(k-1) + 0,2\gamma(k-2)\\
    \gamma(1) = cov(y_t, y_{t-1}) = cov(y_{t-k}, y_{t-k-1})
  \end{gathered}
\end{equation*}

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = 0,7 + 0,5y_{t-1} + \xi_t \sim N(0,1)\\
    var y = 0,5 \\
    var(y_t) = var(0,7 + 0,5 y_{t-1} + \xi_t) = var(0,5y_{t-1} + \xi_t)\\
    1 = 0,5\lambda\\
    1-0,5\lambda = 0\\
    \lambda = 2>1 (\text{стационарный})\\
    var(y_t) = var(0,5y_{t-1}) + var(\xi_t)\\
    var(y_t) = 0,25 var(y_t) + var(\xi_t)\\
    0,5 = 0,25 * 0,5 = var(\xi_t)\\
    var(\xi_t) = 0,5 - 0,125\\
    var(\xi_t) = 0,375.
  \end{gathered}
\end{equation*}

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = 0,5 + 0,4\xi_{t-1} - 0,05\xi_{t-2} + \xi_t, \xi_t\sim N(0, \sigma^2)\\
    var(y_t) = var(0,4\xi_{t-1} - 0,05\xi_{t-1}+\xi_t)\\ %раскрываем скобки
    var(y_t) = var(0,4\xi_{t-1}) + var(-0,05\xi_{t-1}) + var(\xi_t)\\ % выносим константы в квадрате
    var(y_t) = (0,16 + 0,0025 + 1)var(\xi_t) = 1,1625\sigma^2\\ %далее ищем ковариацию
    cov(y_t, y_{t-1}) = E[(y_t - E y_t)(y_{t-1}- E y_{t-1})]\\
    E[0,5 + 0,4\xi_{t-1}...] \\ % E от \xi всегда == 0
    E((0,4\xi_{t-1} - 0,05 \xi_{t-1} + \xi_t)(0,4\xi_{t-2} - 0,05 \xi_{t-1} + \xi_t)) =\\
    =(0,4\sigma^2 - 0,02\sigma^2) = 0,38\sigma^2 = \gamma(1)\\
    E((0,4\xi_{t-1} - 0,05\xi_{t-2} + \xi_t)(0,4\xi_{t-3} - 0,05 \xi_{t-4} + \xi_{t-2})) = \\
    = -0,05 \sigma^2
  \end{gathered}
\end{equation*}

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = 2\xi_{t-3} - \xi_{t-2} + 3\xi_{t-1} + \xi_t; \xi_t \sim N(0, \sigma^2)\\
    var(y_t) = var(2\xi_{t-3}) + var(-\xi_{t-2}) + var(3\xi_{t-1}) + var(\xi_t)\\
    var(y_t) = (4+1+9)\sigma^2 = 15\sigma^2\\
    cov(y_t, y_{t-1}) = E[(y_t - E y_t)(y_{t-1}- E y_{t-1})]\\
    E(y_t) = 0;\\
    cov(y_t, y_{t-1}) = E[(2\xi_{t-3}- \xi_{t-2} + 3\xi_{t-1} + \xi_t)(2\xi_{t-4}- \xi_{t-3} + 3\xi_{t-2} + \xi_{t-1})]=\\
    = E[(-2\xi_{t-3}^2 - 3\xi_{t-2}^2 + 3\xi_{t-1}^2)] = \\
    = -2\sigma^2\\
    \gamma(1) = -2\sigma^2\\
    \gamma(2) = 5\sigma^2\\
    \gamma(3) = 2\sigma^2\\
    \gamma(4) = 0
  \end{gathered}
\end{equation*}

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = = \alpha_1y_{t-1}+\alpha_2y_{t-2}+...+\alpha_py_{t-p}+\xi_t\\
    cov(y_t, y_{t-1}) = cov(\alpha_1y_{t-1}+\alpha_2y_{t-2}+...+\alpha_py_{t-p})\\
    \gamma(1) = \alpha_1\gamma(0)+\alpha_2\gamma(1) + ... + \alpha_p\gamma(p-1)\\
    \rho(1) = \alpha_1\rho(0) + ... + \alpha_p\rho(p-1)\\
    \rho(2) = \alpha_1\rho(0) + \alpha_2\rho(2) + ... + \alpha_p\rho(p-2)\\
    \rho(p) = \alpha\rho(p-1) + \alpha_2\rho(p-2)...\alpha_p\rho(0)\\
  \end{gathered}
\end{equation*}
Частный коэффициент автокорреляции определяет меру корреляционной связи между значениями элементами $y_t$ и $y_{t+k}$ за вычетом той части, которая определена промежуточными значениями. (то есть как будут связаны т и т-н элементы, если выкинуть все промежуточные).
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
\rho_{part}(2) = \frac{cov(y_{t-2} - \alpha_1y_{t-1}, y_t)}{\gamma(0)}
  \end{gathered}
\end{equation*}

Свойства уравнения Юла-Уокера.

Построение авторегрессионной модели временного ряда по выборке методом Юла-Уокера.

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    \rho(0) = 1, \rho(1) = 0,8, \rho(2) = 0,6\\
    \rho(1) = \alpha_1 + \alpha_2\rho(1)\\
    \rho(2) = \alpha_1\rho(1) + \alpha_2\rho(0)\\
    \alpha_1=?, \alpha_2=?\\
    cov(y_t, y_{t-1}) = 0,8\\
    cov(y_t, y_{t-2}) = 0,7\\
    var(y_t)=0,9\\
    \alpha_1=?, \alpha_2=?, \sigma^2=?
  \end{gathered}
\end{equation*}

\subsection{Авторегрессия скользящего среднего}

Уравнение процесса
\[ y_t = \alpha_1y_{t-1} + \xi_t + \beta_1\xi_{t-1} \]

Условие стационарности $|\alpha_1| < 1$. пишем характеристическое уравнение
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
(1-\alpha_1L)y_t = (1+\beta_1L)\xi_t, \xi_t\sim N(0, \sigma^2)\\
1-\alpha_1K=0\\
k=\frac{1}{\alpha_1}\\
|k| = |\frac{1}{\alpha_1}| > 1, \alpha_1 < 1.
  \end{gathered}
\end{equation*}

Условие стационарности $|\beta_1| < 1$.
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    (1+\beta_1L) = 0\\
    K=\frac{1}{\beta_1}\\
    |K| = |\frac{1}{\beta_1} > 1, |\beta_1|<1
  \end{gathered}
\end{equation*}
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = \alpha_1y_{t-1} = \xi_t+\beta_1\xi_{t-1}\\
    (1-\alpha_1L)y_t = (1+\beta_1L)\xi_t\\
    \frac{1}{1+\beta_1L} = (1+\beta L)^{-1}\\
    (1 + \beta_1L)^{-1}(1-\alpha L)\\
    \frac{1}{1+\beta_1L} = 1 - \beta_1L+\beta_1^2L^2 - ...
  \end{gathered}
\end{equation*}

TS-Процесс.
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = 0,5y_{t-1}+\xi_t+0,5t\\
    \varphi(0) = \frac{\delta y_t}{\delta\xi_t} = 1\\
    y_{t+1} = 0,5(t-1)+\xi_{t+1}+0,5y_t\\
    \varphi(1) = \frac{2y_{t+1}}{\delta\xi_t} = 0,5\\
    \varphi(2) = 0,25\\
    \varphi(k) = 0,5^k
  \end{gathered}
\end{equation*}

Взятие разностей TS-процесса (нельзя брать такие разности)
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = 1+t+\xi_t-0,5\xi_{t-1}, \sigma_y^2=1,25\sigma_\xi^2\\
    Var(y_t) = Var(1+t + \xi_t -0,5\xi_{t-1}) = \\
    0 + \sigma^2 - 0,25\sigma^2\xi \\
    y_t-y_{t-1} = 1+t+\xi_t-0,5\xi_{t-1} - (1+t-1+\xi_{t-1}-0,5\xi_{t-2})\\
    1+\xi_t-1,5\xi_{t-1}+0,5\xi_{t-2}=\\
    Var(z) = (1+2,25+0,25)\sigma_\xi^2
  \end{gathered}
\end{equation*}

Для того чтобы проверить распределение Дики-Фуллера нужно построить константы и тренд и понять значимый ли тренд

\section{Прогнозирование временных рядов}
\subsection{Прогнозирование временных рядов по параметрическим моделям}
Лучшее, что мы можем сделать -- это среднеквадратичное. Наилучший прогноз -- это матожидание
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
\tilde{y_{t+k|t}} = E{\tilde{y_{t+k|k}}|y_1...y_t}\\
\tilde{y_{t+k|t}} = E{\tilde{y_{t+k|k}}|y^t_1}
  \end{gathered}
\end{equation*}

\[ y_{t} \to \tilde{\xi_t} = y_t-\tilde{y_{t|t-1}}\]
Можем оценить $\xi_t$ -- это будет модель вычисленная по величинам, но мы не можем вычислить $\xi_{t-1}$.
\[\tilde{y_{t|t-1}} = f(y_{t-1}...y_1)\]

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
y_t = \xi_t-\alpha\xi_{t-1}, \xi_t \sim N(0, \sigma^2)\\
y_{t+1} = \xi_{t+1}-\alpha\xi_{t}\\
\tilde{y_{t+1|t}} = -\alpha\tilde{\xi_t}\\
e_{t+1}(1) = y_{t+1} - \tilde{y_{t+1|t}} = \xi_{t-1}-\underbrace{\alpha\xi_t-(-\alpha\tilde{\xi_t})}_{0}\\
Var(e_{t+1}(1)) = Var(\xi_{t+1}) = \sigma^2\\
Var(\xi_t) = E(\xi_t^2-E\xi_t)
  \end{gathered}
\end{equation*}

Дисперсия ошибки прогноза равна безусловной дисперсии процесса.

Прогнозирование авторегрессионных процессов
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    y_t = 0,4y_{t-1}+0,2y_{t-2}+\xi_t\\
    y_{t+1}=0,4y_{t}+0,2y_{t-1}+\xi_{t+1}\\
    \tilde{y_{t+1|t}} = 0,4y_{t}+0,2y_{t-1}\\
    Var(e_t(1)) = \sigma^2\\
    y_{t+2}=0,4y_{t+1}+0,2y_{t}+\xi_{t+2}=\\
    = 0,4(0,4y_{t}+0,2y_{t-1}+\xi_{t+1})+0,2y_t+\xi_{t+2}=\\
    = 0,16y_t + 0,08y_{t-1}+0,2y_t+0,4\xi_{t+1}+\xi_{t+2}\\
    \tilde{y_{t+2|t}} = 0,36y_t + 0,08y_t\\
    e_t(2) = 0,4\xi_t+1+\xi_{t+2}\\
    Var(e_t(2)) = 0,16+1
  \end{gathered}
\end{equation*}
В основном рассматриваются процессы прогнозирующие изменения доходности ARCH, GARCH.

\section{Многомерные параметрические модели временных рядов}
Какие ряды следует включать в модель? Включаются только те, которые являются «причинными по Грейнджеру». Факторы должны иметь тот же порядок интеграции. То есть если изъятие информации о факторе меняет условное матожидание ряда.

$$E(Y_{t+1}|Y_t, Y_{t-1} X_t, ...) = E(Y_{t+1}|Y_t, Y_{t-1})$$

Связь должна быть односторонняя, то есть если Х объясняет У, а У объясняет Х -- они не подходят. Тест проверяет, может ли фактор Х улучшить прогноз У.

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    X_t = \alpha_0+\alpha_1X_{t-1}+\beta Y_{t-1} + \xi_t\\
    Y_t = \gamma_0+\gamma_1Y_{t-1}+\delta Y_{t-1} + \xi_t
  \end{gathered}
\end{equation*}

$Y_t$ причинная по грейнджеру для $X_t$
$$
\begin{cases}
  H_0 \beta_1 = 0 \text{отвергнута}\\
  H_0 \delta_1 = 0 \text{не может быть отвергнута}\\
\end{cases}
$$

Если вероятность ошибиться меньше 0,05 -- принимаем гипотезу.

\subsection{Ложная регрессия}

\subsection{Коинтеграция}
Если наблюдаемые ряды принадлежат к классы DS процессов, то при определённых условиях между ними может существовать связь, проявляющаяся в том, что для них существует стационарная линейная комбинация.

\subsection{Стационарные ряды}

\subsection{Модель коррекции ошибками ECM}
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    Y_t = \mu + \alpha_2 Y_{t-1}+\beta_0 X_t + \beta_1 X_{t-1} + \xi_t\\
    Y_t - Y_{t-1} = \mu -(1-\alpha_1) * Y_{t-1}+\beta_0 X_t + \beta_1 X_{t-1} + \xi_t\\
    \Delta Y_t = \beta_0 \Delta X_t -(1-\alpha_1)(Y_{t-1} - \frac{\beta_0+\beta_1}{1-\alpha_1}X_{t-1} - \frac{\mu}{1-\alpha_1}) + \xi_t
  \end{gathered}
\end{equation*}



\appendix
\setcounter{secnumdepth}{0}
\section*{Приложения}
\addcontentsline{toc}{section}{Приложения}
\renewcommand{\thesubsection}{\Asbuk{subsection}}

\subsection{Лабораторная работа 1}
Проверка гипотез

Есть процесс, есть модель. Надо проверить, соответствует ли какое-то следующее значение модели.

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    H_0: \alpha \neq 0;\\
    H_1: \alpha = 0;\\
    y_t = \alpha; y_{t+1} + \xi
  \end{gathered}
\end{equation*}

Нам машина посчитала альфу, но на реальной выборке не получится посчитать 0. значение отклонения делим на дисперсию и получаем p-value, если оно $\geq 0,05$ нулевая гипотеза неверна. то есть это уровень доверия. Если выборка маленькая - можно взять больший коэффициент.

Стационарный процесс. Чтобы его проверить нужно построить автокорреляционную функцию
\begin{equation*}
  \begin{gathered}
\rho(K) = \frac{Cov(y_t, t_{t-K})}{\sqrt{Var(y) + Var(y+k)}}\\
\frac{cov(y_t, t_{t-K})}{Var(y)}, cov(y_t, t_{t-K}) = \gamma(k)
  \end{gathered}
\end{equation*}

Например, функция получится

\begin{figure}[H]
  \centering
  \fontsize{12}{1}\selectfont
  \includesvg[scale=1.01]{pics/04-tsaf-00-acf.svg}
\end{figure}


видно, что первые три значения (лаги) отличаются (нулевой равен единице, это белый шум, там н е может быть корелляций), а все последующие незначительно отличаются от нуля. Получим одну из моделей \hrf{eq:arima-models} котороые возможно считать по АРИМА с нужными параметрами. По автокорреляции мы видим, какие варианты моделей возможны. для каждой модели строим распечатки и делаем диагностику.

Проверка стационарности процесса. Размер выборки должен быть треть от числа лагов. корреляционная и автокорреляционная функция участвуют в выборе правильной модели. по АКФ мы видим, что может быть самое больше -- два лага.

\[MSE = \tilde{\sigma}^2 = \frac{1}{K}\sum_{i=3}^n(y_i-y_i^M)^2\]

Вычислили на обучающей выборке, затем вычисляем на контрольной выборке. По автокорреляции мы считаем не порядок авторегрессии, а порядок скользящего среднего. А для того чтобы примерно прикинуть порядок p -- нужно вычислить частный коэффициент автокорреляции.
\[ 0\leq q \leq 2, 0\leq p\leq 1\]

\[y_t = \alpha_0 y_{t-1} + ... + \alpha_{K-1} y_{t-k+1} \]

влияние игреков уменьшается чем дальше мы отходим от $\alpha_0$. частный коэффициент показывает влияние предыдущих значений на последующие.

Криетрий Акаике

\begin{equation*}
  \begin{gathered}
    AIC = \tilde{\sigma}^2 + \frac{r}{N};\\
    SIC = \tilde{\sigma}^2 + \frac{r\ln r}{N};
  \end{gathered}
\end{equation*}

r = число параметров модели, N - объём выборки. добавляет штраф за переобучение. Шваарц более сильно штрфует, Хеннана-куина штрафует ещё сильнее. Нужно выбрать лучшую модель по критерию Акаике.

Люнг-Бокс говорит о том, насколько мы ошибёмся, если отвергнем нулевую гипотезу (остатки не коррелированы). Если остатки коррелированы - модель плохая, мы не смоделировали зависимость. Критерий гетероскедастичности -- если остатки неоднородны лучше не брать такую модель.

Вероятность ошибиться отвергнув нулевую гипотезу должна быть меньше 0,05.

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q,S) -- учёт сезонности.

\section{РК2}
Для того, чтобы определить, является ли процесс обратимым, необходимо проверить, существует ли такая последовательность коэффициентов $\{ \psi_i \}$, что процесс можно представить в виде:
$$
X_t = \sum_{i=1}^{\infty} \psi_i \varepsilon_{t-i}
$$
где $\varepsilon_t$ - белый шум.
Для процесса с заданной автокорреляционной функцией $\rho_1 = 0.5$ и $\rho_k = 0, k \geq 2$ можно найти автоковариационную функцию:
$$
\gamma_k = \rho_1 \rho_{k-1} + \rho_2 \rho_{k-2} + ... + \rho_{k-1} \rho_1
$$
Так как $\rho_k = 0$ для $k \geq 2$, то $\gamma_k = 0$ для $k \geq 3$. Также, $\gamma_1 = \rho_1 = 0.5$ и $\gamma_2 = \rho_1 \rho_1 + \rho_2 \rho_0 = 0.5$. Таким образом, автоковариационная функция для данного процесса равна:
$$
\gamma_k =
\begin{cases}
0.5 & k = 1 \\
0.5 & k = 2 \\
0 & k \geq 3
\end{cases}
$$
Для того, чтобы процесс был обратимым, необходимо, чтобы $\gamma_k > 0$ для всех $k \geq 1$. В данном случае, $\gamma_3 = 0$, что означает, что процесс не является обратимым.


Да, возможно проверить обратимость процесса с заданной автокорреляционной функцией $\rho_1 = 0.5$ и $\rho_k = 0, k \geq 2$ с помощью теоремы Вольда.
Теорема Вольда утверждает, что стационарный процесс обратим тогда и только тогда, когда его спектральная плотность имеет нули только на одной точке.
Спектральная плотность для процесса с заданной автокорреляционной функцией может быть найдена с помощью преобразования Фурье. В данном случае, автокорреляционная функция имеет вид:
$$
\rho_1 = 0.5; \quad \rho_k = 0, k \geq 2
$$
С учетом свойства симметричности автокорреляционной функции, получаем:
$$
\rho_0 = 1, \quad \rho_1 = 0.5, \quad \rho_k = 0, k \geq 2
$$
Применяя преобразование Фурье, получаем спектральную плотность:
$$
f(\lambda) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho_k e^{-i \lambda k}
$$
В данном случае, $f(\lambda) = \rho_0 + \rho_1 e^{-i \lambda} = 1 + 0.5 e^{-i \lambda}$.
Спектральная плотность имеет нули тогда и только тогда, когда ее модуль равен нулю. Модуль спектральной плотности $|f(\lambda)| = \sqrt{1 + 0.5^2 - e^{-i \lambda}}$ не равен нулю ни в одной точке, следовательно, процесс является обратимым по теореме Вольда.

Теорема Вольда утверждает, что стационарный процесс обратим тогда и только тогда, когда его спектральная плотность имеет нули только на одной точке.
Спектральную плотность можно представить в виде:
$$
f(\lambda) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho_k e^{-i \lambda k}
$$
В данном случае, $\rho_1 = 0.5$ и $\rho_k = 0, k \geq 2$, следовательно:
$$
f(\lambda) = \rho_0 + \rho_1 e^{-i \lambda} = 1 + 0.5 e^{-i \lambda}
$$
Чтобы проверить, имеет ли спектральная плотность нули, необходимо решить уравнение:
$$
f(\lambda) = 1 + 0.5 e^{-i \lambda} = 0
$$
Умножим обе части на $e^{i \lambda}$:
$$
e^{i \lambda} + 0.5 = 0
$$
Отсюда получаем:
$$
e^{i \lambda} = -0.5
$$
Решение этого уравнения может быть найдено с помощью формулы Эйлера:
$$
e^{i \lambda} = \cos \lambda + i \sin \lambda
$$
Следовательно,
$$
\cos \lambda + i \sin \lambda = -0.5
$$
Отсюда можно найти значение $\lambda$:
$$
\lambda = \pi + 2n \pi, \quad n \in \mathbb{Z}
$$
Заметим, что полученное значение $\lambda$ соответствует нулю спектральной плотности только в одной точке. Следовательно, процесс является обратимым по теореме Вольда.

\subsection{1}
Чтобы найти прогноз на 1 и 2 шага вперед, нам нужно сначала представить модель процесса в виде линейного уравнения с лагами (ARMA) и затем использовать найденные значения для расчета прогноза.

Модель имеет вид:
$$(1 - 0,3L)y_t = 0,2 + (1 - 0,4L^2)\xi_t$$

Преобразуем уравнение, чтобы получить значение $y_t$:
$$y_t = (0,3L)y_t + 0,2 + \xi_t - 0,4L^2\xi_t$$

Теперь у нас есть линейное уравнение с лагами:
$$y_t = 0,3y_{t-1} + 0,2 + \xi_t - 0,4\xi_{t-2}$$

Теперь мы можем использовать это уравнение для прогнозирования на шаг вперед (t + 1) и на два шага вперед (t + 2).

Прогноз на 1 шаг вперед (t + 1):
$$y_{t+1|t} = 0,3y_{t} + 0,2 + \xi_{t+1} - 0,4\xi_{t-1}$$

Поскольку мы не знаем значения ошибок, мы предполагаем, что ожидаемое значение ошибки равно нулю ($E[\xi_t] = 0$):

$$y_{t+1|t} = 0,3y_{t} + 0,2$$

Прогноз на 2 шага вперед (t + 2):
$$y_{t+2|t} = 0,3y_{t+1} + 0,2 + \xi_{t+2} - 0,4\xi_{t}$$

Аналогично предыдущему шагу, предполагаем $E[\xi_t] = 0$:

$$y_{t+2|t} = 0,3(0,3y_{t} + 0,2) + 0,2$$

$$y_{t+2|t} = 0,09y_{t} + 0,26$$

Итак, прогноз на 1 шаг вперед равен $0,3y_{t} + 0,2$, а прогноз на 2 шага вперед равен $0,09y_{t} + 0,26$. Значения $y_t$ должны быть известны или предварительно рассчитаны для получения числовых прогнозов
\end{document}